Conjunt fitat
En anàlisi matemàtica i àrees relacionades de les matemàtiques, un conjunt es diu fitat si té la grandària limitada, en un sentit que cal precisar. En cas contrari, es diu no fitat.
Definició
[modifica]En la recta real
[modifica]Un conjunt A de nombres reals es diu fitat superiorment quan existeix un nombre real M tal que M ≥ x per a cada element x de A. El nombre M s'anomena fita superior o majorant de A, i no és únic. De manera similar, un conjunt A de nombres reals es diu fitat inferiorment quan existeix un nombre real m tal que m ≤ x per a cada element x de A. El nombre m s'anomena fita inferior o minorant de A.
Un subconjunt A de la recta real R es diu fitat quan té alhora una fita superior i una fita inferior. Això equival a afirmar que existeix un interval I de llargada finita que conté A (per exemple, l'interval I = [m,M]).
En un espai mètric
[modifica]Un subconjunt A d'un espai mètric X es diu fitat quan està contingut en alguna bola. És a dir, quan existeixen un punt p de X i un nombre r > 0 tals que A ⊆ B(p;r).
Exemples
[modifica]Dins la recta real, el conjunt N dels nombres naturals és fitat inferiorment però no superiorment, mentre que el conjunt Z dels nombres enters no és fitat ni inferiorment ni superiorment. El conjunt dels x tals que x² < 2 és fitat.
Discussió
[modifica]El concepte de conjunt fitat i el concepte estretament relacionat de funció fitada són de gran importància en l'anàlisi matemàtica. Una funció f: X → R es diu fitada quan la seva imatge f(X) és un subconjunt fitat de R. Aquesta definició també s'aplica a funcions amb valors en un espai mètric.
El concepte de fita superior (o inferior) té un paper fonamental en la descripció de la recta real. Si A és un conjunt de nombres reals fitat superiorment, llavors entre totes les seves fites superiors n'hi ha una de més petita, anomenada suprem, i representada per sup(A). L'existència del suprem és un dels axiomes dels nombres reals. Anàlogament, un conjunt A de nombres reals fitat inferiorment té una màxima fita inferior, anomenada ínfim i representada per inf(A). Aquestes propietats no són certes per a subconjunts de la recta racional.
La propietat de ser fitat apareix en moltes caracteritzacions d'objectes i en hipòtesis o tesis de teoremes. Per exemple, un subconjunt de l'espai euclidià Rn és compacte sii és tancat i fitat.
Fitació en teoria de l'ordre
[modifica]Les definicions de conjunts fitats dins la recta real es poden estendre sense canvis rellevants a subconjunts d'un conjunt ordenat.
Bibliografia
[modifica]- R. G. Bartle y D. R. Sherbert: Introducción al Análisis Matemático de una Variable (Introduction to Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 2009.
- Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.
- DIAZ MORENO, JOSE MANUEL (1998). «6». INTRODUCCION A LA TOPOLOGIA DE LOS ESPACIOS METRICOS (1 edición). UNIVERSIDAD DE CADIZ. p. 98. ISBN 9788477865148