Vector (física)

En física un vector és un concepte matemàtic i un segment orientat que s'utilitza per descriure magnituds tals com velocitats, acceleracions o forces, en les quals és important considerar no només el valor sinó també la direcció i el sentit. Es representa per un segment orientat per denotar el seu sentit, la seva magnitud (la longitud de la fletxa) i el punt d'aplicació.

Un vector de A a B

Propietats

Els vectors es poden representar amb lletres, amb una fletxa damunt, així: ${\vec {a}}$.

Un vector té les següents propietats:

-Punt d'aplicació, és l'origen del segment.

-Mòdul, expressa el valor numèric de la magnitud vectorial. Es representa per la longitud del segment, sempre en valor absolut. Per exemple, si es vol expressar que el mòdul de ${\vec {a}}$ val 5 unitats, es fa així: $|{\vec {a}}|=5u$.

-Direcció, que és la del segment. A la recta que conté el vector se l'anomena línia d'acció.

-Sentit, distingeix dos sentits sobre la línia d'acció.

Es diu que dos vectors són concurrents quan tenen el mateix punt d'aplicació.

Un vector oposat a un altre és el que té el mateix punt d'aplicació, mòdul i direcció però sentit contrari. Així el vector oposat a ${\vec {a}}$ és $-{\vec {a}}$.

Expressat amb les fórmules, donat un vector ${\vec {r}}$ de coordenades (x,y,z) ${\vec {r}}=(x,y,z)$) el seu mòdul és $|{\vec {r}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$. La seva direcció està donada per la recta que conté el vector i el sentit pot ser cap a un costat o cap a l'altre.

També es pot separar un vector en mòdul i donar la direcció i sentit amb un vector unitari que es calcula com: ${\vec {r_{U}}}={\frac {x_{i}+y_{j}+z_{k}}{|{\vec {r}}|}}$, essent i,j,k els vectors (1,0,0), (0,1,0)i (0,0,1) respectivament.

Suma i resta de vectors

Mètode gràfic

La suma gràfica de dos vectors: a i b

Per la suma i resta de vectors s'ha de tenir en compte, a més a més de la magnitud escalar o mòdul, el sentit i la direcció dels vectors.

Mètode analític

Mòdul resultant

Donats dos vectors ${\vec {a}}$ i ${\vec {b}}$, de mòduls coneguts i que formen l'angle $\theta$ entre si, es pot obtenir el mòdul $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ amb la següent fórmula:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}\right|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}|\left|{\vec {b}}\right|\cos \theta }}$

Obtenció de la Direcció

Per obtenir els angles $\alpha ,\beta$ directors hem de conèixer l'angle $\theta$ i tenir calculat $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ .

Podem emprar aquesta fórmula:

${\frac {|{\vec {b}}|}{\sin \alpha }}={\frac {|{\vec {a}}|}{\sin \beta }}={\frac {\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}{\sin \theta }}$

Amb la fórmula obtindrem els sinus, després per trobar l'angle a partir del sinus hem de tenir en compte que:

$\alpha +\beta =\theta$

Angle entre dos vectors

Per calcular l'angle entre dos vectors s'empra la següent fórmula:

$\cos \theta ={\frac {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{ab}}$

El qual es pot generalitzar a qualsevol dimensió:

$\cos \theta ={\frac {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+...+a_{n}b_{n}}{ab}}$

Quan es tracta algebraicament en un espai vectorial l'angle entre dos vectors està donat per:

$\cos \theta ={\frac {|<a,b>|}{||a||.||b||}}$

Essent <,> el producte escalar definit dins el mateix espai vectorial.

Vegeu també

• Vector (Matemàtiques)
• Espai vectorial
• Mòdul vectorial
• Producte escalar
• Producte vectorial
• Pseudovector

Enllaços externs

• Juga amb vectors Arxivat 2005-10-01 a Wayback Machine. (castellà)