Conjunt connex

Un conjunt connex (connexió) per a un espai topològic és molt natural. Així, es diu que un espai és disconnex si és possible dividir-lo en dos conjunts oberts amb intersecció nul·la. En cas contrari, es diu que l'espai és connex.

Definició

Siga $(X,{\mathcal {T}})\,$ un espai topològic on ${\mathcal {T}}\,$ n'és la topologia.

Direm que un subconjunt $C\subseteq X$ és disconnex si $\exists A,B\in {\mathcal {T_{|C}}}$ tal que $A\neq \varnothing ,\,B\neq \varnothing ,\,A\cap B=\varnothing \;i\;A\cup B=C$ .

Es diu doncs que C és connex en el cas que no sigui disconnex

Exemples

Conjunts connexos

Les esferes $S^{n},n\geq 1,$ són connexes
Un punt en $\mathbb {R} ^{n}$ és connex
Un nus és un conjunt connex en $S^{3}\,$
Un tor és un conjunt connex en $\mathbb {R} ^{3}$
En $\mathbb {R}$ , un conjunt és connex si i només si és un interval (matemàtiques)
El complementari d'un punt en $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2,$ és connex

Conjunts disconnexos

El complementari d'un punt en $\mathbb {R}$
El conjunt format per la unió de dues esferes disjuntes a $\mathbb {R} ^{n}$
Un enllaç de $n\,$ components (nusos)

Propietats dels conjunts connexos

Es compleix que si $(X,{\mathcal {T}})\,$ és un espai topològic connex, qualsevol espai homeomorfa a ell també ho serà. Aquesta propietat ens dona una caracterització molt útil dels conjunts connexos: $C\subseteq X$ és un conjunt connex si i només si per a tota funció $f\colon C\to \{0,1\}\$ contínua, es compleix que $f$ és una funció constant, on a $\{0,1\}$ (topologia discreta).

La imatge per una aplicació contínua d'un conjunt connex és connexa.

Una altra propietat interessant dels conjunts connexos és la següent: Si $({X_{i},{\mathcal {T}}_{i}})_{i\in I}$ és una família d'espais topològics connexos (amb $I$ un conjunt d'índexs de qualsevol cardinalitat), llavors $(\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T}})$ també és connex, on ${\mathcal {T}}$ és la topologia producte.

Finalment, si $\ X$ no és connex, és a dir, si hi ha oberts $\ U,V$ disjunts no buits tals que la seva unió és $\ X$ , és fàcil veure que cada obert serà el complement de l'altre, després seran complements d'un obert, i per tant, seran tancats. És a dir, seran conjunts clopen. Per això, una altra manera de caracteritzar la connexitat és a dir: $\ X$ serà connex si i només si els únics clopen són $\ X\;i\;\varnothing$ (on tots dos conjunts són sempre clopen).

Connexió per arcs

Direm que un conjunt $X$ és connex per camins o arc connex si donats $x_{1},x_{2}\in X$ hi ha un camí continu $\alpha :[0,1]\rightarrow X$ tal que $\alpha (0)=x_{1}$ i $\alpha (1)=x_{2}$ .

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg, $X=A\cup B$ , on $A=\{(0,1)\}$ i $B=([0,1]\times \{0\})\cup (\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}\times [0,1])$ . $X$ és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).

Components connexes

Donat un espai topològic $(X,{\mathcal {T}})\,$ disconnex s'anomena component connexa, a cada un dels conjunts maximals connexos. És a dir un subconjunt $I\in {\mathcal {T}}\,$ és un component connexa si es compleixen aquestes dues condicions:

$I\in {\mathcal {T}}\,$ és connex.
Qualsevol conjunt $Z\,$ que conté pròpiament a $I\,$ és disconex.

Es compleix que les components connexes de $X$ formen una partició de $X$ .