Anell factorial

Un anell factorial (també dit anell de factorització única o domini de factorització única) és un anell íntegre en què tot element descompon de forma única com a producte de primers, és a dir, un anell on es compleix una versió anàloga del teorema fonamental de l'aritmètica. En els anells factorials es verifica que un element és primer si, i només si, és irreductible. És fàcil veure que en alguns anells com ara $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ certs elements admeten més d'una factorització. Així, en aquest anell, $6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})$ , i els quatre factors són irreductibles.

Un resultat important d'aquest tipus d'anells és que si A és un anell factorial aleshores l'anell de polinomis A[X] també ho és.

Definició

Un anell íntegre A es diu que és un anell de factorització única quan tot element x de A que no és l'element neutre de la suma i no és una unitat, s'escriu com un producte d'elements irreductibles:

x= p₁ p₂ ⋅⋅⋅ p_n

i aquesta representació és única en el sentit que si existeix una altra descomposició de x com a producte d'elements irreductibles de A

x= q₁ q₂ ⋅⋅⋅ q_m

Aleshores n = m i hi ha una permutació φ : {1,...,n} → {1,...,n} tal que p_k = u_k q_φ(k) per a tot k de {1,...,n} i on els elements u_k són unitats de A (això és, que p_k i q_φ(k) són elements associats per a qualsevol k).

Una definició alternativa, que no exigeix unicitat, és la següent: un anell és factorial si tots els seus elements no invertibles diferents de zero es poden escriure com a producte d'elements primers de A.

Exemples

Anells de factorització única

L'anell dels nombres enters, gràcies al teorema fonamental de l'aritmètica.
De fet, tot anell principal és factorial. Això comporta que els cossos i els anells euclidians siguin també factorials.
Si A és un anell factorial aleshores l'anell de polinomis en una variable A[X] també ho és.

Fent inducció sobre la propietat anterior, si A és un anell factorial aleshores l'anell de polinomis en n variables A[X₁, ..., X_n] també ho és. Si n > 1 tenim exemples d'anells factorials que no són principals.
L'anell A[[X₁, ..., X_n]] de sèries de potències a coeficients en un anell íntegre A és un anell factorial.

Vegeu també