Teorema del virial

En mecànica, el teorema del virial és una equació general que relaciona l'energia cinètica total mitjana $\left\langle T\right\rangle$ d'un sistema amb la seva energia potencial mitjana $\left\langle V\right\rangle$. El teorema estableix que, en un sistema estable d'objectes units mútuament per la força de la gravetat, l'energia cinètica total dels seus components és igual a la meitat de la seva energia potencial. En el cas d'un sistema de N partícules, l'expressió matemàtica del teorema del virial és:

$\left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle$,

on ⟨⟩ indica la mitjana temporal del producte F_k·r_k, on F_k representa la força que actua sobre la k-èsima partícula ubicada a la posició r_k.

La paraula "virial" té l'origen en vis, la paraula llatina per 'força' o 'energia', i Clausius el 1870 li va donar la seva accepció tècnica.

Aplicacions

El teorema del virial permet calcular l'energia cinètica total mitjana encara per a sistemes molt complexos en els quals és molt difícil obtenir una solució exacta, com ara els relacionats en mecànica estadística; aquesta energia cinètica total mitjana es relaciona amb la temperatura del sistema mitjançant el teorema d'equipartició. Un exemple de les seves moltes aplicacions és l'ús del teorema del virial per a calcular el límit de Chandrasekhar per a l'estabilitat de les estrelles nanes blanques.

Si la força entre dues partícules qualssevol del sistema és produïda per una energia potencial V(r) = arⁿ que és proporcional a alguna potència n de la distància r entre si, el teorema del virial adopta la forma:

$2\langle T\rangle =n\langle V\rangle$.

En termodinàmica, el teorema del virial ens permet escriure un model que s'aproximi a un gas real, que es trobi en la natura. Per això, s'usa un desenvolupament en potències d'1/v, i s'obté (en magnituds molars):

${\frac {Pv}{RT}}=1+{\frac {B(T)}{v}}+{\frac {C(T)}{v^{2}}}+...$

on B(T), C(T)... són el segon coeficient del virial, tercer coeficient del virial respectivament. A aquest desenvolupament, també se'l coneix amb el nom de desenvolupament de Kammerlingh Onnes. Com a exemple, el gas de van der Waals es pot escriure usant el desenvolupament de Kammerlingh Onnes com (de nou, en magnituds molars):

${\frac {Pv}{RT}}=1+{\frac {b-{\frac {a}{RT}}}{v}}+\left({\frac {b}{v}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{v}}\right)^{3}+...$

Demostració

Emprant el formalisme lagrangià definim la magnitud següent:

$S=\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}$

sent $\mathbf {r} _{i}$ les coordenades generalitzades i

$\mathbf {p} _{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{i}}}$

els moments generalitzats.

A continuació calculem:

$\langle {\dot {S}}\rangle =\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\sum _{i}\int _{0}^{t}{\frac {d}{dt'}}(\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i})\cdot dt'=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}$

Suposant que, en el sistema donat, les coordenades i moments generalitzats estan tancats, concloem que:

$\langle {\dot {S}}\rangle =\sum _{i}\langle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \mathbf {r} _{i}\rangle +\sum _{i}\langle {\mathbf {p} }_{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}\rangle =0$

A més, ja que:

$\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=2T\quad ;\quad {\dot {\mathbf {p} }}_{i}=\mathbf {F} _{i}$

Obtenim finalment:

$\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\langle \mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}\rangle$

Bibliografia

• Goldstein, H. Classical Mechanics. 2a ed.. Addison-Wesley, 1980. ISBN 0-201-02918-9. 
• Collins, GW. Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press, 1978.