Equació diofàntica

Una equació diofàntica és una equació per a la qual només es permeten solucions enteres. El seu nom fa referència al matemàtic grec Diofant d'Alexandria, un dels primers a estudiar aquest tipus de problemes.

A més del problema de trobar les solucions d'una equació diofàntica particular, no és evident la mateixa existència de les solucions. Existeix un algorisme general per a trobar les solucions d'una equació diofàntica de primer ordre, però no per a ordres superiors. Aquest problema general ha estat sense obtenir una resposta definitiva durant molts segles i David Hilbert l'inclogué com un dels seus famosos 23 problemes. El 1970, Yuri Matiyasevich demostrà finalment que és impossible obtenir una solució general per a una equació diofàntica d'ordre qualsevol.

Equació diofàntica de primer ordre

És una equació de la forma $\,ax+by=c$ , i només té solució si $\,\mathrm {m.c.d.} (a,b)|c$ (és a dir, si el màxim comú divisor de $\,a$ i $\,b$ també divideix $\,c$ ).

Resolució general

Les solucions d'aquesta equació són:

x=rc^{\prime }-tb^{\prime }

y=sc^{\prime }+ta^{\prime }

en què $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ representen $\,a/d,b/d,c/d$ i és $\,d=\mathrm {m.c.d.} (a,b)$ . $\,r$ i $\,s$ són les solucions enteres de l'equació $\,1=a'r+b's$ .

Demostració

Tenim una equació diofàntica

\,ax+by=c

, on

\,d=\mathrm {m.c.d.} (a,b)

. Dividint l'equació inicial per

\,d

, obtenim

a'x+b'y=c',\quad \mathrm {m.c.d.} (a',b')=1

Per la identitat de Bézout, tenim que $\,a'r+b's=1$ . Multiplicant per $\,c'$

a'rc'+b'sc'=c'\,

On evidentment $\,x=rc',\;y=sc'$ . Restant les dues expressions, obtenim

\,a'(x-rc')+b'(y-sc')=0

Per tant, $\,a'|y-sc'$ i $\,b'|x-rc'$ . És a dir, existeixen $\,t$ i $\,u$ que compleixen:

\,y=sc'+ta'

\,x=rc'+ub'

Substituint a l'equació inicial: $\,c'=a'rc'+a'ub'+b'sc'+bta'=c'+a'b'(u+t)\,$

Per tant,

\,u+t=0

. D'on obtenim la solució general exposada anteriorment.

Exemple

A continuació, resoldrem l'equació $\,27x+51y=111$ . En primer lloc, s'ha de comprovar que té solució: donat que el màxim comú divisor de 27 i 51 és 3, i 3 divideix 111, podem afirmar que sí que en té. Ara, resolent la identitat de Bézout $\,{\frac {27}{3}}r+{\frac {51}{3}}s=1$ , d'on trobem una solució immediata que és $r=2,\;s=-1$ . Per tant, la solució general serà:

x=2\cdot 37-17t

y=-1\cdot 37+9t

Alguns exemples

ax + by = c: s'anomena identitat de Bézout. Aquestes equacions es poden resoldre completament i la primera solució coneguda es deu al matemàtic indi Brahmagupta.
xⁿ + yⁿ = zⁿ: per a n = 2 hi ha infinites solucions (x,y,z), les tripletes pitagòriques. Per a valors superiors de n, l'últim teorema de Fermat n'assegura la inexistència de solucions.
x² − n y² = 1: anomenada equació de Pell. Si n no és un quadrat perfecte, té infinites solucions que són una bona aproximació racional a l'arrel quadrada de n.
$\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}y^{n-i}}=c$ , on $n\geq 3$ i $c\neq 0$ : s'anomenen equacions de Thue i, en general, tenen solució.