Equació constitutiva

Una equació constitutiva és una relació entre les variables termodinàmiques o mecàniques d'un sistema físic: pressió, volum, tensió, deformació, temperatura, densitat, entropia, etc. Cada material o substància té una equació constitutiva específica, tal relació només depèn de l'organització molecular interna. En mecànica de sòlids deformables i en enginyeria estructural, les equacions constitutives són igualtats que relacionen el camp de tensió mecànica amb la deformació, usualment tals equacions relacionen components dels tensors de tensió, deformació i velocitat de deformació. Per a un material elàstic lineal les equacions constitutives s'anomenen equacions de Lamé-Hooke o simplement llei de Hooke. També més generalment en física es fa servir el terme equació constitutiva per a qualsevol relació entre magnituds tensorials, que no és derivable de lleis de conservació o altres tipus de lleis universals i que són específiques del tipus de problema estudiat.

Exemples

Medis continus i termodinàmica

• Sòlid elàstic lineal (Llei de Hooke)

$\sigma =E\varepsilon \quad [\Rightarrow F=-kx]\,$ (cas unidimensional)

$\sigma _{ij}=\sum _{k,l}C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}$ (cas general)

• Sòlid Elàstic isòtrop no-lineal (Teorema de Rivlin-Ericksen)

$\sigma _{ij}=\alpha (\iota _{\varepsilon })\delta _{ij}+\beta _{ijkl}(\iota _{\varepsilon })\varepsilon _{kl}+\gamma _{ijkl}(\iota _{\varepsilon })\sum _{m}{\varepsilon _{km}\varepsilon _{ml}}\,$

• Fluid newtonià

$\tau _{\ \lVert }=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{\bot }\qquad \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} \right)$

Electromagnetisme

• Llei d'Ohm

${V \over I}=R\,$ (cas isòtrop)

$J_{j}=\sigma _{ij}E_{i}\,$ (cas general)

• Susceptibilitat elèctrica (Permitivitat)

$P_{j}=\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{i}\,$

$D_{j}=\epsilon _{ij}E_{i}\,$

• Susceptibilitat magnètica (Permeabilitat electromagnètica)

$M_{j}=\mu _{0}\chi _{m,ij}H_{i}\,$

$B_{j}=\mu _{ij}H_{i}\,$

Fenòmens de transport

• Transferència de calor

$q=c_{p}T\,$

• Conductivitat tèrmica

$p_{j}=-k_{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{i}}}\,$

• Difusió (Llei de Fick)

$J_{j}=-D_{ij}{\frac {\partial C}{\partial x_{i}}}\,$

Altres exemples

• Fricció

$F_{f}=F_{p}\mu _{f}\,$

• Resistència aerodinàmica

$D={1 \over 2}C_{d}\rho Av^{2}\,$