Espai separable

En topologia, un espai topològic és un espai separable si inclou un subconjunt dens numerable.

Un espai de Hilbert és separable si i només si admet una base ortonormal numerable.

Espais de Hilbert separables

Sigui (H, <, >) un espai de Hilbert separable. Si {i_k}_k∈B és una base ortonormal numerable de V, llavors cada element x de V es pot escriure com

$x=\sum _{k\in B}\langle e_{k},x\rangle e_{k}$

Aquesta suma també s'anomena l'expansió de Fourier de x.

Exemples d'espais de Hilbert són $\mathbb {K} ^{n}\,$ amb $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ o $\mathbb {K} =\mathbb {C} ,$ l'espai de les successions complexes quadrat-sumables $\ell ^{2}(\mathbb {K} )$ i l'espai de les funcions quadrat-integrables en el sentit de Lebesgue $L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).$ Una gran varietat d'espais de Hilbert que es presenten en la pràctica són separables i són en particular els espais $\mathbb {K} ^{n}$ i $\ell ^{2}(\mathbb {K} )$ els prototips principals d'espais de Hilbert, ja que tot espai de Hilbert separable de dimensió finita $n\,$ és isomorf a $\mathbb {K} ^{n}$ mentre que tot espai de Hilbert separable de dimensió infinita és isomorf a $\ell ^{2}(\mathbb {K} )$.

Exemples

Espais separables

• El conjunt dels nombres reals R amb la topologia usual és separable per ser el conjunt dels nombres racionals Q un subconjunt dens numerable. En general, l'espai euclidià R ⁿ és separable per ser Q ⁿ dens i numerable, ja que és el producte de conjunts numerables.
• Igualment el conjunt dels nombres complexos C és separable sent en general, l'espai euclidià C ⁿ també separable.

• Tot espai topològic numerable és separable.
• El conjunt de les funcions contínues en l'interval [0,1] també és separable.

Espais de Hilbert no separables

• El conjunt de totes les funcions reals $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, que només són diferents de zero en un conjunt finit o comptable de punts S _f tals que:

$\sum _{x\in S_{f}}|f(x)|^{2}<\infty$

Constitueix un espai de Hilbert no separable, dotat del producte escalar entre dues funcions f i g :

$\langle f,g\rangle =\sum _{S_{f}\cap S_{g}}{\overline {f(x)}}g(x)$

Necessàriament aquestes funcions d'aquest espai de Hibert no són contínues, ja que els espais normats de funcions reals contínues definides en $\mathbb {R} ^{n}$ són sempre separables.