Teorema de Crofton

En matemàtiques, el teorema de Crofton (o fórmula de Crofton), en honor del matemàtic britànic Morgan Crofton (1826-1915) qui la va enunciar per primera vegada, és un resultat clàssic en probabilitat geomètrica que permet calcular el valor mitjà sense haver de recórrer a la resolució de complicades integrals definides.

Definició

Siguin els $n$ punts $\xi _{1},...,\xi _{n}$, aleatòriament distribuïts en un domini $S$ i sigui $H$ un event que depèn de la posició dels $n$ punts;

Sigui $S'$ un domini estrictament més petit que $S$ però contingut en el seu interior i sigui $\delta S$ la part de $S$ no continguda dins de $S'$; aleshores

$\delta P[H]=n(P[H\xi _{1}\in \delta S]-P[H]s^{-1}\delta s$

en la que $P[H]$ és la probabilitat del event $H$; $s$ és la mida de $S$ i $\delta s$ és la mida de $\delta S$.

Bibliografia

• Seneta, Eugene; Parshall, Karen Hunger; Jongmans, François «Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand» (en (anglès)). Archive for History of Exact Sciences, Vol. 55, Num. 6, 2001, pàg. 501-524. DOI: 10.1007/s004070100038. ISSN: 0003-9519.
• Solomon, Herbert. Geometric Probability (en (anglès)). SIAM, 1978. ISBN 9781611970418. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W. «Crofton's Formula». MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 2 abril 2017].