Límit

En matemàtiques, la noció de límit és força intuïtiva, malgrat la seva formulació abstracta. Amb l'objectiu de donar-ne una introducció simple, en aquest article es tracta només el cas de les successions de nombres reals i el cas de les funcions reals d'una variable real.

Límit d'una successió

Introducció

Les successions són les funcions amb domini de definició ℕ, o, a vegades ℤ (sobretot en anàlisi de Fourier). Aquí tractarem només el primer cas.

Ara, cada enter és un punt aïllat; en altres mots, no podem acostar-nos a $n\in \mathbb {N}$ mitjançant diferents punts de ℕ. Això implica que no es considera la idea de límit d'una successió en un enter finit: hi ha de fet només el seu valor.

Considerem doncs només la noció de límit per a $n\to +\infty$; l'anomenarem «límit de la successió».

Definició, convergència, divergència

• Cas del límit finit $l\in \mathbb {R} \,\!$: per a tot «descart de tolerància» $\epsilon >0\,\!$ existeix un «enter de confidència» $N_{0}\in \mathbb {N} \,\!$ tal que, per a tot n més gran que $N_{0}\,\!$, el valor $u_{n}\,\!$ és prop de l per a menys de ε: $n\geq N_{0}\ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_{n}\leq l+\epsilon \,\!$.

Quan existeix, el límit l és únic; s'escriu llavors $\lim(u_{n})_{n}=l\,\!$, i es diu que $(u_{n})_{n}\,\!$ tendeix (o també convergeix) cap a l.

Una successió que admet un límit finit és anomenada convergent. Hom té el teorema següent: Cada successió convergent és fitada.

• Cas del límit infinit: distingim dos casos:

A) $+\infty \,$ i B) $-\infty \,$.

Per a cada « llindar de tolerància » $M>0\,\!$ cal que es pugui trobar un « enter de confidència » $N_{0}\in \mathbb {N} \,\!$ a partir del qual els valors de $\vert (u_{n})\vert \,$ siguin superiors a $M\,\!$ i els $(u_{n})\,$ es mantinguin positius -en el cas A)- i negatius -en el cas B)-:

• $n\geq N_{0}\ \Rightarrow \vert u_{n}\vert \geq M\,\!$ per a $\lim(u_{n})=+\infty \,\!$
• $n\geq N_{0}\ \Rightarrow u_{n}\leq M\,\!$ per a $\lim(u_{n})=-\infty \,\!$.

A més, en el cas A) $n\geq N_{0}\ \Rightarrow u_{n}>0\,\!$ i en el cas B) $n\geq N_{0}\ \Rightarrow u_{n}<0\,\!$.

Se diu llavors que $(u_{n})\,\!$ tendeix (o divergeix) a: A) $+\infty \,\!$, B) $-\infty \,\!$.

NB: Es parla de successió convergent només quan una successió admet un límit finit, de successió divergent en els casos A) i B), de successió indeterminada en tots els altres casos.

NB: Es pot també parlar de límit $\infty \,\!$ quan $\lim {1 \over u_{n}}=0$. Això resumeix els casos A) i B) i, a més, el cas on $n\geq N_{0}\ \Rightarrow \vert u_{n}\vert \geq M\,\!$ però els $(u_{n})$ poden canviar signe de manera arbitrària.

Sub-successions

Es parla de sub-successió de la successió $(u_{n})\,\!$ quan se seleccionen "només uns quants" elements de $(u_{n})\,\!$: així es considera només una part de la informació. L'exemple més clàssic és aquell de les sub-successions $(u_{2n})\,\!$ dels termes de rang parell, i $(u_{2n+1})\,\!$ dels termes de rang imparell.

Més generalment, es designa amb el terme « extracció » cada aplicació $\phi \ :\ \mathbb {N} \to \mathbb {N} \,\!$ estrictament creixent. Llavors una sub-successió és una successió de la forma $(u_{\phi (n)})\,\!$.

Una propietat important és que una successió $(u_{n})\,\!$ admet límit (finit o infinit) si i només si cada sub-successió $(u_{\phi (n)})\,\!$ admet el mateix límit.

Linealitat del passatge al límit

L'operació de passatge al límit és lineal en el sentit següent :

si (x_n) i (y_n) són unes successions reals convergents i tals que lim x_n = L i lim y_n = P, llavors

• la successió (x_n + y_n) convergeix a L + P.
• Si a és un nombre real, llavors la successió (a x_n) convergeix a L.

Així, el conjunt C de totes les successions reals convergents és un espai vectorial real i l'operació de passatge al límit és una forma lineal real sobre C. Si (x_n) i (y_n) són unes successions reals convergents amb límits L i P respectivament, llavors la successió (x_ny_n) convergeix a LP. Doncs l'espai vectorial C és de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar $N\in {\mathbb {N} }$ tal que la successió (x_n/y_n), amb $n\geq N$ és bé definita i convergent amb límit L/P.

Cada successió convergent és fitada, puix que tots els termes, salvat un nombre finit, estan dins un interval al voltant del límit. Si (x_n) és una successió de reals, fitada damunt i creixent (-o també fitada davall i decreixent-), llavors és convergent.

Cada successió de Cauchy de nombres reals és convergent, o més simplement: el conjunt dels nombres reals és complet.

Exemples

• La successió (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres reals és convergent, amb límit 0.
• La successió (3, 3, 3, 3, 3, ...) és convergent de límit 3.
• La successió $n\mapsto u(n):=(-1)^{n}=(-1,1,-1,1,...)$ no és convergent, però les seves sub-successions $n\mapsto u(2n)$ i $n\mapsto u(2n+1)$ ho són.
• La successió (1, -2, 3, -4, 5, ...) té límit $\infty$.
• La successió (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) és convergent, amb límit 1. Aquesta successió és un exemple de sèrie geomètrica.
• Si a és un nombre real de valor absolut |a| < 1, llavors la successió de terme general aⁿ té límit 0.
• Si a >0, llavors la successió de terme general a^1/n té límit igual a 1.
• La successió $n\mapsto u(n):=(1+1/n)^{n}$ convergeix a e i, per a tot nombre real (de fet complex) x, la successió $n\mapsto u(n):=(1+x/n)^{n}$ convergeix a $e^{x}$.

Límits de funcions

Convé distingir el cas del límit en un punt real finit i el cas del límit a l'infinit ("positiu" o "negatiu").

Límit d'una funció a un punt a

Definició

Sigui $f(x)\,\!$ : $\ R\to \mathbb {R}$

$\lim _{x\to a}f(x)$ = $\ l\in \mathbb {R}$ ⇔ ∀ε>0, ∃ $\ \delta$ > 0 / ∣f(x)-L∣ < ε, ∀x ∈ (a- $\ \delta$,a) ∪ (a, a+$\ \delta$)

Límits finits

Si $\ f$ és una funció real de variable real i $\ a$ un punt del domini de definició de f, es diu que $\ l\in \mathbb {R}$ és el límit de $\ f$ en $\ a$ si :

• intuïtivament, $\ f(x)$ s'acosta a $\ l$ en la mesura que $\ x$ s'acosta a $\ a$ ;
• amb més rigor, per a tot « descart de tolerància » $\ \epsilon >0$ es pot trobar un « descart de confidència » $\ \delta >0$ tal que, quan $\ x$ és prop de $\ a$ a menys de $\ \delta$, llavors $f(x)$ és prop de $\ l$ a menys de $\ \epsilon$.

En símbols: $a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

(il·lustració 1)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $l\,\!$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de $a\,\!$.

En aquest cas, s'escriu $\lim _{x\to a}f(x)=l\,\!$.

Límits infinits

Pot també succeir que al punt $a\,\!$ la funció $f\,\!$ no hi hagi límit finit, sinó infinit. Això vol dir que, s'acostant a $a\,\!$ el valor de $f\,\!$ "s'acosta" a $+\infty \,\!$ o a $-\infty \,\!$; és a dir, esdeven grand quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de $+\infty \,\!$) o negatiu ($-\infty \,\!$).

La formulació matemàtica és llavors la següent : per a cada « llindar de tolerància » $M>0\,\!$ es pot trobar un « descart de confidència » $\delta >0\,\!$ tal que, dès que $x\,\!$ és prop de $a\,\!$ a menys de $\delta \,\!$, llavors $\vert f(x)\vert \,\!$ és major que $M\,\!$ i $f\!$ es manten de signe constant: $a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x)\vert \geq M$ i: $f(x)>0$ per al cas del límit $+\infty$, $f(x)<0$ per al cas del límit $-\infty$.

(il·lustració 2)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm \infty$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de $a\,\!$.

En aquest cas s'escriu $\lim _{x\to a}f(x)=+\infty \,\!$ (o $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty \,\!$).

Infinit sense signe

NB: També per a les funcions de variable real (però és més utilitzat a l'anàlisi complexa), es pot parlar de límit $\infty \,\!$, quan $\lim _{x\to a}{1/f(x)}=0$. Això resumeix els casos $\pm \infty \,\!$ i, a més, el cas on $a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x)\vert \geq M$ però $f$ pot canviar signe de manera arbitrària. Això no pot succeir per a funcions contínues en $(a-\delta ,x)\bigcup (x,a+\delta )$.

Límits per l'esquerra, per la dreta

Pot succeir també que el comportament local de la funció $f\,\!$ sigui different « per l'esquerra » de $a\,\!$ (és a dir per a les $x<a\,\!$) i « per la dreta » de $a\,\!$ (és a dir per a les $x>a\,\!$). Per exemple, una funció pot admetre un límit per la dreta i no per l'esquerra, o també admetre dos límits diferents de cada costat.

(il·lustració 3)

Hom és doncs portat a introduir les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra; la sola diferència amb els límits « normals » és que la proximitat de $f(x)\,\!$ amb $l\,\!$ o $\pm \infty \,\!$ és demanada només per a un costat de $a\,\!$. Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs :

• per al límit per l'esquerra :

$\lim _{x\to a,x<a}f(x)=l,\!$ quan

$a-\delta \leq x<a\ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

$\lim _{x\to a,x<a}f(x)=+\infty \,\!$ quan

$a-\delta \leq x<a\ \Rightarrow \ f(x)\geq M$

• per al límit per la dreta :

$\lim _{x\to a,x>a}f(x)=l,\!$ quan

$a<x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

$\lim _{x\to a,x>a}f(x)=+\infty \,\!$ quan

$a<x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x)\geq M$

Les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra són menys resrictives que la noció clàssica de límit « bilateral » : una funció pot tenir un límit per l'esquerra i un límit per la dreta sense tenir un límit bilateral. De fet hom heu la propietat:

Una funció té un límit en un punt $a\,\!$ si i només si té un límit per l'esquerra $l_{e}\,\!$ i un límit per la dreta $l_{d}\,\!$ i aquests són iguals : $l_{g}=l_{d}\,\!$

Límit d'una funció a l'infinit

Ara considerem el comportament d'una funció f -definida per a cada x prou gran en valor absolut- « als límits » del domini de definició, sigui quan $x\,\!$ creix indefinidament (límit en $+\infty$), sigui quan $x\,\!$ decreix indefinidament (límit en $-\infty$).

Es pot notar que, en aquest context, la noció de límit per la dreta o per l'esquerra no heu sentit; de fet els límits en $+\infty$ són sempre uns límits per l'esquerra i els límits en $-\infty$ són sempre uns límits per la dreta.

Límits finits

El límit de una funció a més infinit és L si, per a tot ε > 0 existeix S > 0; tal que |f(x)-L| < ε per a tot x > S.

Direm que la funció $f\,\!$ admet el límit finit $l\,\!$ en $+\infty$ si$f(x)\,\!$ s'acosta a $l\,\!$ en la mesura que $x\,\!$ esdeven més gran (o « tendeix a $+\infty \,\!$ »).

Matemàticament, això és traduït mitjançant el fet que, per a tot « descart de tolerància » $\epsilon >0\,\!$ es pot trobar una « llindar de confidència » $M>0\,\!$ després de la qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, de centre $l\,\!$ i radi $\epsilon \,\!$, és a dir: $x\geq M\ \Rightarrow$$\ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $l\,\!$ que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran. En aquest cas s'escriu $\lim _{x\to +\infty }f(x)=l\,\!$.

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en $-\infty$ : es diu que $f(x)\,\!$ tendeix a $l\,\!$ quan $x$ tendeix a $-\infty$ si per a tot descart $\epsilon >0\,\!$ es pot trobar una llindar $M<0\,\!$ tal que: $x\leq M\$$\Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$, i s'escriurà $\lim _{x\to -\infty }f(x)=l\,\!$.

Límits infinits

Direm que la funció $f\,\!$ admet el límit $\pm \infty \,\!$ en $+\infty$ si$\vert f(x)\vert \,\!$ esdevé arbitràriament gran en la mesura que $x\,\!$ esdevé més gran (o « tendeix a $+\infty \,\!$ »). De més, $f(x)\,\!$ resta amb signe positiu ($+\infty \,\!$) o negatiu ($-\infty \,\!$) per a tals x. La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit $\infty \,\!$.

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » $K>0\,\!$ es pot trobar un «llindar de confidència» $M>0\,\!$ després del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir $(K,+\infty )\,\!$ (cas $+\infty \,\!$), $(-\infty ,-K)\,\!$ (cas $-\infty \,\!$) o $(-\infty ,-K)\bigcup (K,+\infty )\,\!$ (cas $\infty \,\!$).

(il·lustració 5)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm \infty \,\!$ (o $\infty \,\!$) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\pm \infty \,\!$ o $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\infty \,\!$.

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en $-\infty$ : direm que la funció $f\,\!$ admet el límit $\pm \infty \,\!$ en $-\infty$ si$\vert f(x)\vert \,\!$ esdeven arbitràriament gran en la mesura que $x\,\!$ esdeven més gran en valor absolut, mes ha signe negatiu (o « tendeix a $-\infty \,\!$ »). De més, $f\,\!$ resta amb signe positiu ($+\infty \,\!$) o negatiu ($-\infty \,\!$) per a tals x.

La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit $\infty \,\!$.

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » $K>0\,\!$ es pot trobar un « llindar de confidència » $M<0\,\!$ abans del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir $(K,+\infty )\,\!$ (cas $+\infty \,\!$), $(-\infty ,-K)\,\!$ (cas $-\infty \,\!$) o $(-\infty ,-K)\bigcup (K,+\infty )\,\!$ (cas $\infty \,\!$).

(il·lustració 6)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm \infty \,\!$ (o $\infty \,\!$) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\pm \infty \,\!$ o $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\infty \,\!$.

L'operació de passatge al límit (o al límit per la dreta/esquerra) és lineal també per a les funcions de variable real, en el sentit següent: sigui x₀ un punt de la dreta real acabada, és a dir un nombre real finit o $\pm \infty$.

• Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x₀, llavors també la funció f+g hi admet límit, i aquest límit és L+P.
• Si a és un nombre real, llavors la funció a f admet límit a x₀, i aquest límit és aL.

Així, el conjunt K de totes les funcions que admeten límit a x₀ és un espai vectorial real i l'operació de passar al límit és una forma lineal real sobre K.

Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x₀, llavors també la funció fg hi admet límit, i aquest límit és LP, així l'espai vectorial K es de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar un interval al voltant de x₀ on f/g està ben definida; el seu límit a x₀ és L/P.

Exemples

• El límit de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ quan x tendeix a $\pm \infty$ és igual a 0.

Clau de la demostració per a $+\infty$: si $x\geq M$, llavors ${\frac {1}{x}}\leq 1/M$.

• El límit per la dreta de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ quan x tendeix a 0 (0⁺) és $+\infty$.

Clau de la demostració: si $0<x\leq \delta$, llavors ${\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{\delta }}$.

• El límit per l'esquerra de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ quan x tendeix a 0 (0^-) és $-\infty$.
• El límit (bilateral) de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ quan x tendeix a 0 és $\infty$ sense signe, és a dir $x\mapsto {\frac {1}{1/x}}$ tendeix a 0 quan x tendeix a 0, puix que ${\frac {1}{1/x}}=x$. Recordeu que

$\infty$ sense signe és més utilitzat en anàlisi complexa. Vegeu també la nota anterior.

• El límit de $x\mapsto x^{2}$ quan x tendeix a 3 és igual a 9 (En aquest cas la funció és definita i contínua en aquest punt, i el valor de la funció és igual al seu límit).

Clau de la demostració: si $2\leq x\leq 4$, llavors $\vert x^{2}-9\vert =\vert (x+3)\vert \cdot \vert (x-3)\vert \leq 7\cdot \vert (x-3)\vert$.

• El límit de $x\mapsto \vert x\vert ^{\vert x\vert }$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.
• El límit de $x\mapsto {\frac {(a+x)^{2}-a^{2}}{x}}$ quan x tendeix a 0 és igual a 2a.
• El límit per la dreta de $x\mapsto {\frac {\vert x\vert }{x}}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1; el límit per l'esquerra és igual a -1.
• El límit de $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.
• El límit de $x\mapsto {\frac {\cos(x)-1}{x}}$ quan x tendeix a 0 és igual a 0.
• El límit de $x\mapsto {\frac {\cos(x)-1}{x^{2}}}$ quan x tendeix a 0 és igual a -1/2.
• El límit de $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}+\vert x\vert ^{\vert x\vert }$ quan x tendeix a 0 és igual a 2.
• El límit de $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}\cdot \vert x\vert ^{\vert x\vert }$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.

Lligam entre els límits de successions i de funcions

Es pot provar que $\lim _{x\to +x_{0}}f(x)=y_{0}\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }f(u_{n})=y_{0}$ per a cada successió $\left\{u_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ tal que $\lim _{n\to \infty }u_{n}=x_{0}$, és a dir per a cada successió convergent a $x_{0}$.

Vegeu també

• Teorema del límit central
• Mètodes infinitesimals
• Convergència uniforme
• Indeterminació (límit)

Bibliografia

Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7. 

Viccionari