Mètode de Newton

En càlcul numèric, el mètode de Newton, o mètode de Newton-Raphson, és un algorisme per tal de trobar aproximacions del zero d'una funció amb valors reals.

Història

El mètode Newton va ser descobert per Isaac Newton i publicat al Method of Fluxions el 1736. Encara que aquest mètode també sigui descrit per Joseph Raphson a Analysis Aequationum el 1690, cal dir que el Method of Fluxions ja havia estat escrit el 1671.

El mètode

Suposem que la funció $f\,$ és contínuament diferenciable dues vegades a l'interval $\left[a,b\right]\,$ , o sigui $f\in {\mathcal {C}}^{2}\left[a,b\right]\,$ . I existeix un zero de la funció en aquest interval. Direm que $\alpha \in \left[a,b\right]\,$ és la solució si $f\left(\alpha \right)=0\,$ .

Sigui $x_{0}\in \left[a,b\right]\,$ una aproximació a la solució $\alpha \,$ tal que $f'\left(x_{0}\right)\neq 0\,$ . Si escrivim el polinomi de Taylor de primer grau per a $f\left(x\right)\,$ al voltant de $x_{0}\,$ , tindrem: $f(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f^{\prime }(x)+{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}f^{\prime \prime }(\xi (x))\,$

Però com que $f(\alpha )=0\,$ , aquest anterior polinomi de Taylor, el podem escriure de la forma: $0=f(x_{0})+(\alpha -x_{0})f^{\prime }(x)+{\frac {(\alpha -x_{0})^{2}}{2}}f^{\prime \prime }(\xi (\alpha ))\,$ .

En aquest punt, el mètode de Newton suposa que el terme $(\alpha -x_{0})^{2}\,$ serà menyspreable, i que: $0\approx f(x_{0})+(\alpha -x_{0})f'(x)\,$ ,

i aïllant $\alpha \,$ :

$\alpha \approx x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\,$ ,

que ha de ser una millor aproximació cap a $\alpha \,$ . Anomenem $x_{1}\,$ a aquesta millor aproximació. Per inducció definim una successió de valors de $x_{n}\,$ , que es pot escriure de la forma: $x_{n}=x_{(n-1)}-{\frac {f(x_{(n-1)})}{f'(x_{(n-1)})}}\,$ , amb $n\geq 1\,$ .

Imatge gràfica

L'aproximació gràfica és la següent: S'escull un valor de l'abscissa raonablement pròxim a l'autèntic zero. En aquest punt, es reemplaça la corba per la seva tangent, i es calcula el zero d'aquesta recta tangent. Aquest zero, normalment, és més pròxim al zero de la funció, que el valor inicial. Aquest procés es reitera, fins a arribar a una aproximació que es dona per bona. En el cas de la gràfica, a partir de $x_{0}\,$ , s'anirà trobant la successió $x_{1},x_{2},...\,$ , fins a arribar a un cert valor que es donarà com a solució de $\alpha \,$ .

Observacions

La fallada d'aquest mètode, normalment ve motivada per l'anul·lació del valor de la derivada en algun punt entre el valor del zero de la funció i el valor $x_{0}\,$ inicial que s'hagi agafat com aproximació d'arrencada. No cal dir que l'eficiència d'aquest mètode també està a saber trobar una aproximació inicial suficientment pròxima a la solució.

Exemple

Suposem que es vulgui trobar un valor de la $x\,$ que fa que $x-\cos x=0\,$ . Es pot intuir que existeix un valor entre 0 i 1 que ha de complir aquesta condició.

La derivada de la funció és: $1+\sin x\,$ , sempre és >0.

Es pot agafar com a valor d'inici: $x_{0}=0.5\,$ .

I d'aquí:

$x_{1}=0.5-{\frac {0.5-\cos 0.5}{1+\sin 0.5}}=0.75522\,$

$x_{2}=0.75522-{\frac {0.75522-\cos 0.75522}{1+\sin 0.75522}}=0.73914\,$

$x_{3}=0.73914-{\frac {0.73914-\cos 0.73914}{1+\sin 0.73914}}=0.73909\,$

$x_{4}=0.73909-{\frac {0.73909-\cos 0.73909}{1+\sin 0.73909}}=0.73909\,$

Valor que evidentment soluciona el problema, dins l'aproximació en què s'ha treballat.

Algorisme

Algorisme Mètode_Newton
funció func(x:real): real; /retorna el valor de la funció en x.
funció deriv(x:real): real;/retorna el valor de la derivada en x.
 
var.x0=W: real;/W allunyat de V, per evitar que |x0-x1|<Tol.
x1=V: real;	/V=aproximació inicial.
Tol: real;/Tol=marge màxim d'error que s'acceptarà.
n=N: enter;/controla el número d'iteracions, màxim N.
 
fer 
mentre [n>0] i [|x0-x1|>Tol] fer
x0=x1;
x1=x0-func(x0)/deriv(x0); 
n=n-1;
fi mentre;
si n>0
SORTIDA=x1;
altrament
SORTIDA=ERROR;
fi si;
fi procés;

Generalització

Es pot també utilitzar el mètode de Newton per tal de resoldre sistemes de n equacions (generalment no lineals), això representa trobar els zeros de les funcions contínuament derivables $F:R^{n}\rightarrow R^{n}\,$ .

Si designem per $\mathbf {J} (\mathbf {x} )\,$ la matriu jacobiana d'aquest sistema de funcions, el mètode de Newton en aquest cas, es pot escriure amb el següent procés iteratiu: