Notació de Landau

En matemàtica, la Notació de Landau , també anomenada "o minúscula" i "O majúscula", és una notació per a la comparació asimptòtica de funcions, la qual cosa permet establir la cota inferior asimptòtica, la cota superior asimptòtica i la cota ajustada asimptòtica. Anomenada així per Edmund Landau, qui va desenvolupar la teoria.

Definició

La notació de Landau es defineix de la següent manera:

Si f, g són funcions complexes definides en un entorn d'un punt $x_{0}$, aleshores

• $F=O(g)\,\!$ quan $x\rightarrow x_{0}$ si i només si hi ha un $\epsilon >0$ tal que $|f(x)|\leq \epsilon |g(x)|$ per a tot $x$ en un entorn de $x_{0}\,\!$.
• $F=o(g)\,\!$ quan $x\rightarrow x_{0}$ si i només si per tot $\epsilon >0$ hem de $|f(x)|<\epsilon |g(x)|\,\!$ per a tot $x$ en un entorn de $x_{0}\,\!$.

Una versió una mica més restrictiva però més manejable que la definició anterior és la següent:

Siguin $f(x)\,\!$, $g(x)\,\!$ dues funcions definides per $x>x_{0}.\,\!$ i sigui $g(x)\neq 0\ \forall x>x_{0}\,\!$. Els símbols

$f=O(g)\,\!$, $f=o(g)\,\!$

signifiquen respectivament que $f(x)/g(x)\to 0\,\!$ quan $x\to -\infty \,\!$, i que $f(x)/g(x)\,\!$ està tancat per $x\,\!$ prou gran. La mateixa notació és usada quan $x\,\!$ tendeix a un límit finit o $-\infty \,\!$, o també quan $x\,\!$ tendeix al seu límit a través d'una seqüència discreta de valors. En particular, una expressió és $o(1)\,\!$ o $O(1)\,\!$ si aquesta expressió tendeix a zero o aquesta fitada respectivament.

Dues funcions $f(x)\,\!$ i $g(x)\,\!$ definides en un veïnatge d'un punt $x_{0}\,\!$ (finit o infinit) són cridades asimptòticament iguals si $f(x)/g(x)\to 1\,\!$ quan $x\to x_{0}\,\!$

Si les fraccions $f(x)/g(x)\,\!$, $g(x)/f(x)\,\!$ estan acotades en un veïnatge de $x_{0}\,\!$ es diu que $f(x)\,\!$, $g(x)\,\!$ són del mateix ordre quan $x\to x_{0}\,\!$

Propietats

Context de les propietats

Siguin $a,b\in \mathbb {R} \,\!$ i suposem que $f\,\!$ és una funció definida sobre un interval finit o infinit $a\leq x<b\,\!$ i és integrable en qualsevol interval $(a,b')\,\!$ amb $b'<b\,\!$ podem escriure

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t\quad x\in (a,b')\,\!$

Sigui $o_{0},o_{1},o_{2},\ldots \,\!$ una successió de nombres i sigui

$O_{\nu }=o_{0}+o_{1}+\cdots +O_{\nu }\ \ (\nu =0,1,\ldots )\,\!$

la mateixa notació serà utilitzada per altres lletres. Es tenen les següents propietats:

1. Suposeu que $f(x)\,\!$, $g(x)\,\!$ estan definides en $a\leq x<b\,\!$ i integrables en qualsevol $(a,b')\,\!$, que $g(x)\geq 0\,\!$ i que $G(x)\to +\infty \,\!$ quan $x\to b\,\!$. Si $f(x)=o(g(x))\,\!$ quan $x\to b\,\!$, aleshores també s'haurà de $F(x)=o(G(x))\,\!$
2. Siguin $\{O_{\nu }\},\ \{v_{\nu }\},\ \,\!$ dues successions de nombres, aquesta última positiva. Si $\{O_{\nu }\}=o\{v_{\nu }\},\ \,\!$ i $V_{\nu }\to +\infty \,\!$, llavors $O_{\nu }=o(V_{\nu })\,\!$
3. Suposeu que la sèrie $\sum v_{\nu }\,\!$ convergeix, que els $v\,\!$ 's són positius, i que $O_{\nu }=o(v_{\nu })\,\!$. llavors $O_{\nu }+U_{\nu +1}+\cdots =o(v_{\nu }+v_{\nu +1}+\cdots )\,\!$
4. Sigui $f(x)\,\!$ una funció positiva, monòtona i finita definida per $x\geq 0\,\!$ i sigui $F(x)=\int _{0}^{x}f\mathrm {d} t,\quad F_{n}=f(0)+f(1)+\cdots +f(n).\,\!$ Llavors
   $(i)$ si $f(x)\,\!$ decrementa, $F(n)-f_{n}$ tendeix a un límit finit
   $(ii)$ si $f(x)\,\!$ s'incrementa, $F(n)\leq F_{n}\leq F(n)-f(n)_{n}\to +\infty$
5. Sigui $f(x)\,\!$ positiva, finita i monòtona per $x\geq 0\,\!$. Si es compleix $(i)$ $f(x)\,\!$ s'incrementa i $F(x)\to \infty \,\!$ o $(ii)$ $f(x)\,\!$ s'incrementa i $f(x)=o(F(x))\,\!$, llavors $F_{n}\,\!$ és asimptòticament igual a $F(n)\,\!$

$\,\!$

Vegeu també

• Cota superior asimptòtica
• Cota inferior asimptòtica
• Cota ajustada asimptòtica

Bibliografia

• Trigonometric Sèries vol 1 A. Zygmund