Cota inferior asimptòtica

En anàlisi d'algorismes una cota inferior asimptòtica és una funció que serveix de cota inferior d'una altra funció quan l'argument tendeix a infinit. Usualment s'utilitza la notació Ω(g(x)) per referir-se a les funcions acotades inferiorment per la funció g(x). Més formalment es defineix:

\Omega (g(x))=\left\{{\begin{matrix}f(x):{\mbox{existeixen }}c,x_{0}{\mbox{ constants positives tals que}}\\\forall x:x_{0}\leq x:0\leq cg(x)\leq f(x)\end{matrix}}\right\}

Una funció f(x) pertany a Ω(g(x)) quan hi ha una constant positiva c tal que a partir d'un valor $x_{0}$ , $cg(x)$ no supera f(x). Vol dir que la funció f és superior a g a partir d'un valor donat excepte per un factor constant.

La cota inferior asimptòtica té utilitat en teoria de la complexitat computacional a l'hora de calcular la complexitat del millor cas per als algorismes.

Tot i que Ω(g(x)) està definit com un conjunt, s'acostuma a escriure f(x)= Ω(g(x)) en lloc de f(x)∈ Ω(g(x)). Moltes vegades també es parla d'una funció nomenant únicament la seva expressió, com en x² en lloc de h(x)=x², sempre que estigui clar quin és el paràmetre de la funció dins de l'expressió. En la gràfica es dona un exemple esquemàtic de com es comporta $cg(x)$ pel que fa a f(x) quan x tendeix a infinit.

La cota ajustada asimptòtica (notació Θ) té relació amb les cotes superior (notació O) i inferior asimptòtiques:

f(x)=\Theta (g(x)){\mbox{ si i només si }}f(x)=O(g(x)){\mbox{ i }}f(x)=\Omega (g(x))

Exemples

La funció x² pot ser fitada inferiorment per la funció x. Per demostrar prou notar que per a tot valor de x≥1 es compleix x≤x². Per tant x²=Ω(x) (però x no serveix com a cota superior per x²).
La funció x²+200x està fitada inferiorment per x². Vol dir que quan x tendeix a infinit el valor de 200x es pot menysprear pel que fa al de x².

Vegeu també

Bibliografia

Introduction to Algorithms, 2a ed. per Thomas H. Corman, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein (anglès)