Hipèrbola

Hipèrbola

Una hipèrbola o hipèrbole es defineix com el lloc geomètric dels punts del pla per als quals és constant la diferència de les distàncies a dos punts fixos denominats focus.

La forma més freqüent d'una hipèrbola és la següent: $Y=K/X$

La hipèrbola és la corba cònica oberta formada dues branques resultat de la intersecció de les dues parts d'una superfície cònica amb un pla que la talla i que forma amb l’eix del con un angle més petit que amb la generatriu del con. És habitual pensar que cal que el pla sigui paral·lel a l'eix, però no és així i a més, en tots els casos, les dues branques de la hipèrbola són simètriques.

Asímptotes

Una asímptota és una recta que, en prolongar-la indefinidament, s'acosta cada vegada més a la gràfica de la corba, però no arriba mai a tocar-la. Això passa perquè en les asímptotes les gràfiques no existeixen.

Continuïtat i discontinuïtat

Les representacions d'hipèrboles poden ser diferents, ja siguin contínues o discontínues. La diferència és que quan es podrà representar sense aixecar el llapis del paper la gràfica serà contínua i quan s'hagi d'aixecar el llapis del paper per força serà discontínua

Equacions de la hipèrbola

Equacions en coordenades cartesianes

• L'equació d'una hipèrbola centrada en el punt (0,0) és:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

on a i b són els semieixos major i menor.

• Equació amb centre arbitrari:

${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

on $(h,k)$ és el centre

Equacions en coordenades polars

• $r^{2}=a\,\sec 2t$

  $r^{2}=-a\,\sec 2t$

  $r^{2}=a\,\csc 2t$

  $r^{2}=-a\,\csc 2t$

Equacions paramètriques

$x=a\,\cosh \theta$

$y=b\,\sinh \theta$

Representació d'hipèrboles

Domini

Per a cercar el domini el que cal fer és trobar tots els nombres que facin que equació no tengui solució.

$Y=X+1/x+2$ En aquest cas el domini seria:

$D=R-{2}$(Això vol dir que el domini seria tots els nombres reals menys quan X=2 perquè seria 3 dividit 0 i no es pot dividir per 0 en cap cas.

Asímptotes

Les asímptotes són rectes verticals per on no passa la funció, és a dir, seria el nombre del domini. En aquest cas (2).

Punts de tall

Els punts de tall de les $X$ ens indiquen per on passa la gràfica quan $Y=0$.

El punt de tall de la $Y$ ens indica per on passa la gràfica quan $X=0$

Per saber els punts de tall en les X hem de donar valor 0 a la Y. $0=X+1/x+2$ hi hem de resoldre l'equació.

En el cas del punt de tall de la Y hem de donar 0 al valor de la X. $Y=0+1/0+2$ hi hem de resoldre la divisió.

Signe de la funció

Per saber el signe de la funció en cada tram, els valors de la X han de ser les asímptotes i els nombres dels punts de talls de les x. Entre nombre i nombre heu d'agafar un nombre intermedi i substituir el nombre per la x i observar el signe. El signe ens indicarà el signe de la gràfica entre aquells dos intervals.

Vegeu també

• Geometria analítica
• Paràbola
• El·lipse