Residu quadràtic

El residu quadràtic mòdul $m$ en matemàtica i dins la teoria de nombres és qualsevol enter $r$ coprimer amb $m$ per al que tingui solució la congruència:

$x^{2}\equiv r{\pmod {m}},$

o, cosa que és el mateix, quan $r$ és un quadrat no nul mòdul $m$, i que per tant té una arrel quadrada en l'aritmètica de mòdul $m$. Als enters que no són congruents amb quadrats perfectes mòdul $m$ se'ls anomena no-residus quadràtics. En endavant els anomenaren com residus i no-residus.

Per exemple, quan el mòdul és 13, els residus són: 1, 3, 4, 9, 10 i 12, i els no residus 2, 5, 6, 7, 8, i 11. En general per a determinar quins són els residus quadràtics per a un mòdul donat, n'hi ha prou amb determinar les restes de dividir per $m$ als quadrats perfectes dels enters nombres primers amb $m$ i menor o iguals a $m/2$.

En el cas que es limiti l'estudi només als nombres primers és convenient usar el símbol de Legendre, i la seva extensió, el símbol de Jacobi.

Propietats

• El producte d'un residu i un no-residu és un no-residu
• Si $p$ és un nombre primer, la meitat de les $p-1$ classes residuals mòdul $p$ són residus i l'altra meitat no-residus.
• -1 és un residu de tots els nombres primers de la successió $4k+1$ i és un no-residu de tots els primers de la successió $4k+3$
• 2 és un residu de tots els primers de les successions $8k+1$ i $8k+7$ i és un no-residu de tots els altres primers imparells.
• Si $p$ i $q$ són primers imparells i cap d'ells pertany a la successió $4k+1$ aleshores $p$ és un residu mòdul $q$ si i només si $q$ és un no-residu mòdul $p$. Si per altra banda qualsevol dels dos,o ambdós, pertanyen a la successió $4k+1$ aleshores $p$ és un residu mòdul $q$ si i només si $q$ és un residu mòdul $p$.

Aquesta darrera propietat rep el nom de Llei de reciprocitat quadràtica, i és un dels teoremes més importants de la teoria elemental de nombres.

Problemes oberts i conjectures

Un dels problemes més importants sobre residus quadràtics és l'ordre de magnitud del mínim no-residu quadràtic positiu $n(p)$. El millor resultat conegut el va donar Burguess, assegura que l'expressió

${\frac {n(p)}{p^{1/4{\sqrt {e}}}}}$

està acotada per a tots els nombres primers, i es conjectura que el resultat podria seguir sent cert si es substitueix el denominador per $(\log p)^{2}$.

Extensions

De la mateixa manera es pot parlar de residus cúbics, residus biquadràtics i en general de residus potencials.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Quadratic Residue» a MathWorld (en anglès).