Rosa (matemàtiques)

En matemàtiques, una rosa o corba rhodonea és una sinusoide dibuixada en coordenades polars. Aquestes corbes es poden expressar amb una equació polar de la forma

\!\,r=\cos(k\theta ).

Si k és un enter, la corba serà una rosa de

2k pètals si k és parell, i
k pètals si k és senar.

Quan k és parell, la gràfica completa de la rosa és traçada un sol cop quan el valor de θ varia de 0 a 2π. Quan k és senar, això passa a l'interval entre 0 i π. (De forma més general, això pasa en qualsevol interval de longitud 2π per a k parell, i π per a k senar.)

Si k és un nombre racional, llavors la corba és tancada i té longitud finita. Si k és un nombre irracional, llavors no és tancada i té longitud infinita. És més, en aquest últim cas, la gràfica de la rosa esdevé un conjunt dens (és a dir, passa arbitràriament a prop de qualsevol punt del disc de radi unitat).

Donat que

\sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)

Per a to $\theta$ , les curves donades per les equacions polars

\,r=\sin(k\theta )

i

\,r=\cos(k\theta )

són idèntiques tret d'una rotació de π/2k radians.

El nom de les roses els el va donar el matemàtic italià Guido Grandi entre l'any 1723 i el 1728.^[1]

Àrea

Una rosa que té equació polar de la forma

r=a\cos(k\theta )\,

on k és un enter positiu, té una àrea de

{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}

si k és parell, i

{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}

si k és senar.

El mateix s'aplica a les roses amb equacions polars de la forma

r=a\sin(k\theta )\,

Donat que la seva gràfica no és res més que una rotació de les roses definides fent servir el cosinus.

Vegeu també

Corba de Lissajous
Quadrifoli – una rosa amb k=2.

Referències

↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Rhodonea» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.