Sèrie dels inversos dels nombres primers

La suma dels recíprocs dels nombres primers creix indefinidament, però de manera molt lenta. Al gràfic l'eix de les abscisses és en escala logarítmica per mostrar la lentitud de creixement de la sèrie. La funció en porpra és una fita inferior també divergent.

La sèrie dels inversos dels nombres primers és la sèrie definida com la suma dels recíprocs dels nombres primers, és a dir:

$s_{n}=\sum _{\scriptstyle p{\text{ primer }} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}$

Quan n tendeix a infinit la sèrie divergeix:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{\scriptstyle p{\text{ primer }} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty$

Aquest resultat fou demostrat per Leonhard Euler l'any 1737 i, des d'aleshores, s'han formulat diverses demostracions de la divergència de la sèrie. Un d'aquests resultats involucra una fita inferior de la sèrie:

$\sum _{\scriptstyle p{\text{ prime }} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}\geq \log \log(n+1)-\log {\frac {\pi ^{2}}{6}}\qquad \qquad \forall n\in \mathbb {N}$

Algunes demostracions de la divergència

Demostració original d'Euler

La primera demostració, obra del matemàtic suís Leonhard Euler, parteix del següent resultat per la sèrie harmònica

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)$

i, aplicant-ne el logaritme, es troba

${\begin{aligned}\log \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\log \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\\&{}=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)\\&{}=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{4p^{2}}}+\cdots \right)\\&{}<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)\\&{}=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}\right)\\&{}=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+C\end{aligned}}$

per una constant C < 1. I com que la suma dels recíprocs dels primers n nombres naturals és asimptòtica a log(n), es conclou

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{\scriptstyle p{\text{ primer }} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\log(\log(n))$

Demostració d'Erdős

Paul Erdős demostrà la divergència per reducció a l'absurd.

Sigui p_i l'i-è nombre primer, i suposem que la sèrie convergeix. Aleshores, ha d'existir un nombre natural k tal que

$\sum _{i=k+1}^{\infty }{1 \over p_{i}}<{1 \over 2}\qquad (1)$

Sigui x un nombre natural, denotem M_x com el conjunt de valors naturals de n menors o iguals a x no divisibles per cap primer major que p_k. Trobarem ara una fita superior i una fita inferior per |M_x| (la cardinalitat del conjunt M_x) i veurem que per valors de x prou grans les fites entren en contradicció.

Fita superior

Tot n de M_x pot escriure's com n = r m² amb m i r naturals, on r és un enter lliure de quadrats. Com que només els k primers p₁, …, p_k poden aparèixer (amb exponent 1) a la factorització de r, hi ha d'haver com a molt 2^k possibilitats diferents per r. Encara més, hi ha d'haver com a molt √x valors possibles per m. Això ens porta a la fita superior

$|M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)$

Fita inferior

Els x − |M_x| nombres restants a la diferència de conjunts {1, 2, . . ., x} \ M_x són tots divisibles per un primer major que p_k. Sigui N_i,x el conjunt dels n naturals menors o iguals a x que són divisibles pel i-è primer p_i. Aleshores

$\{1,2,\ldots ,x\}\setminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x}$

Com que el nombre d'enters a N_i,x és com a molt x/p_i (de fet és zero per p_i > x), tenim

$x-|M_{x}|\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\infty }{x \over p_{i}}$

Fent servir (1), obtenim

${x \over 2}<|M_{x}|\qquad (3)$

Contradicció

Quan x ≥ 2^{2k + 2}, les dues estimacions entren en contradicció perquè ${\tfrac {x}{2}}\geq 2^{k}{\sqrt {x}}$.

Referències

• Dunham, William. Mathematical Association of America. Euler The Master of Us All (en anglès), 1999, p. 61–79. ISBN 0-88385-328-0. 
• Caldwell, Chris K. «There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?» (en anglès). [Consulta: 11 març 2016].