Separatriu

En matemàtica, una separatriu és el límit fronterer que separa dos comportaments en una equació diferencial.

Exemple

L'espai de fases d'un pèndol simple

Considerem l'equació diferencial que descriu el moviment del pèndol simple:

${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over l}\sin \theta =0.$

On $l$ denota la longitud del pèndol, $g$ l'acceleració gravitacional i $\theta$ l'angle entre el pèndol i la verticalitat. En aquest sistema hi ha una quantitat H (el hamiltonià) conservada, que ve donada per $H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{l}}\cos \theta .$

Amb això definit, es pot traçar una corba constant H en l'espai de fases del sistema. L'espai de fases és un gràfic amb $\theta$ al llarg de l'eix horizontal i ${\dot {\theta }}$ a l'eix vertical – svegeu imatge de la dreta. El tipus de corba resultant depèn del valor d'H .

Si $H<-{\frac {g}{l}}$ llavors no existeix cap corba (${\dot {\theta }}$ deu ser imaginària).

Si $-{\frac {g}{l}}<H<{\frac {g}{l}}$ llavors la corba serà una simple corba tancada quasi circular per H petita i amb forma ovalada quan H s'aproximada al límit superior. Aquestes corbes corresponen al pèndol movent-se de costat a costat.

Si ${\frac {g}{l}}<H$ llavors la corba és oberta, i això correspon al pèndol movent-se sempre en cercles complets.

En aquest sistema la separatriu és la corba que correspon a $H={\frac {g}{l}}$. Separa (d'aquí el nom) l'espai de fases en dues àrees diferents. Dins la separatriu correspon al moviment endavant i enrere, mentre que fora de la separatriu correspon amb el pèndol movent-se contínuament en cercles.

Enllaços externs

• Separatriu de MathWorld.