Suport d'una probabilitat

Sigui $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ un espai de probabilitat. S'anomena suport de la probabilitat $P$ a qualsevol esdeveniment $A\in {\mathcal {A}}$ tal que $P(A)=1$. Naturalment, sempre interessa considerar el suport més petit possible, ja que ens proporcionarà més informació sobre la probabilitat.

En el cas que $\Omega =\mathbb {R}$ i ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ la $\sigma$-àlgeba de Borel sobre $\mathbb {R}$, també s'utilitza el suport tancat que és el conjunt tancat més petit que és un suport de $P$. El suport tancat està format per tots aquells punts $x\in \mathbb {R}$ tals que qualsevol entorn $U$ seu compleix $P(U)>0$. Equivalentment, si $F$ és la funció de distribució de $P$, el suport és el conjunt dels $x\in \mathbb {R}$ tals que per tot $\varepsilon >0$, $$F(x+\varepsilon )-F(x-\varepsilon )>0.$$ Els punts del suport tancat s'anomenen punts de creixement de $F$.

La noció de suport tancat es pot estendre a mesures definides en un espai topològic. Sigui $(E,{\mathcal {B}},\mu )$ un espai de mesura on $E$ és un espai topològic i ${\mathcal {B}}$ la $\sigma$-àlgeba de Borel associada. S'anomena suport de $\mu$ al menor conjunt tancat $C$ tal que $\mu (E\backslash C)=0$. Es demostra que si $E$ és metritzable i separable, el suport de $\mu$ sempre existeix.

Vegeu també

• Suport (matemàtiques)