Teorema de Rouché-Frobenius

En matemàtiques, es coneix com a Teorema de Rouché-Frobenius (pels matemàtics Eugène Rouché i Ferdinand Georg Frobenius), un teorema que estableix la condició d'existència de solucions en els sistemes d'equacions lineals. També rep els noms de teorema de Kronecker-Capelli, de Rouché-Capelli o de Rouché-Fontené.

Definició

Sigui el sistema lineal d'equacions

${\begin{cases}{\begin{aligned}\alpha _{1}^{1}x^{1}+\alpha _{2}^{1}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{1}x^{m}&=\beta ^{1}\\\alpha _{1}^{2}x^{1}+\alpha _{2}^{2}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{2}x^{m}&=\beta ^{2}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\alpha _{1}^{n}x^{1}+\alpha _{2}^{n}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{n}x^{m}&=\beta ^{n}\\\end{aligned}}\end{cases}}\qquad \qquad \qquad (1)$

amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada

$A={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{1}&\alpha _{2}^{1}&\ldots &\alpha _{m}^{1}\\\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\ldots &\alpha _{m}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \,\vdots \,\vdots &\vdots \\\alpha _{1}^{n}&\alpha _{2}^{n}&\ldots &\alpha _{m}^{n}\\\end{pmatrix}}\,,\qquad (A|b)={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{1}&\alpha _{2}^{1}&\ldots &\alpha _{m}^{1}&\beta ^{1}\\\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\ldots &\alpha _{m}^{2}&\beta ^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \,\vdots \,\vdots &\vdots &\vdots \\\alpha _{1}^{n}&\alpha _{2}^{n}&\ldots &\alpha _{m}^{n}&\beta ^{n}\\\end{pmatrix}}$

i sistema homogeni associat

${\begin{cases}{\begin{aligned}\alpha _{1}^{1}x^{1}+\alpha _{2}^{1}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{1}x^{m}&=0\\\alpha _{1}^{2}x^{1}+\alpha _{2}^{2}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{2}x^{m}&=0\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\alpha _{1}^{n}x^{1}+\alpha _{2}^{n}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{n}x^{m}&=0\\\end{aligned}}\end{cases}}\qquad \qquad \qquad (2)$

Es coneix com a teorema de Rouché-Frobenius el conjunt de les següents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:

El sistema $(1)$ és compatible, és a dir, té solució, si, i només si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, això és,

${\mbox{rang}}\,A={\mbox{rang}}\,(A|b)$

Si el sistema $(1)$ és compatible, aleshores la solució general del sistema s'obté tot sumant a una solució particular la solució general del sistema homogeni associat $(2)$ .

Precisions complementàries

Com que, si ${\mbox{rang}}\,A=m$ (el nombre d'incògnites), el sistema homogeni associat només té la solució trivial

$x^{1}=x^{2}=\cdots =x^{m}=0$

resulta que el sistema $(1)$ , en cas de ser compatible, és determinat, és a dir, amb solució única, si, i només si, ${\mbox{rang}}\,A=m$ . Si ${\mbox{rang}}\,A<m$ , aleshores la solució de $(1)$ no és única i el sistema es diu indeterminat.

Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com incògnites és infinit, el cas dels nombres racionals, $\mathbb {Q}$ , i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals, $\mathbb {R}$ , o dels nombres complexos, $\mathbb {C}$ , aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat és infinit.

Justificació

Quant a la primera afirmació

La primera de les afirmacions del teorema resulta òbvia si tenim en compte que, si en afegir la columna

$b={\begin{pmatrix}\beta ^{1}\\\beta ^{2}\\\vdots \\\beta ^{n}\\\end{pmatrix}}$

dels termes independents a la matriu $A$ del sistema, el rang no varia, això és perquè el vector columna de termes independents, $b$ , no és linealment independent dels vectors columna de coeficients,

$a_{1}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{1}\\\alpha _{1}^{2}\\\vdots \\\alpha _{1}^{n}\\\end{pmatrix}}\,,\quad a_{2}={\begin{pmatrix}\alpha _{2}^{1}\\\alpha _{2}^{2}\\\vdots \\\alpha _{2}^{n}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \ldots \,,a_{m}={\begin{pmatrix}\alpha _{m}^{1}\\\alpha _{m}^{2}\\\vdots \\\alpha _{m}^{n}\\\end{pmatrix}}$

i, per tant, hi ha $x^{1},x^{2},\ldots ,x^{m}$ que fan

$x^{1}a_{1}+x^{2}a_{2}+\cdots +x^{m}a_{m}=b$

i el sistema $(1)$ té solució. En canvi ${\mbox{rang}}\,A<{\mbox{rang}}\,(A|b)$ implica la independència lineal del vector $b$ i, per tant, la no existència dels escalars $x^{1},x^{2},\ldots ,x^{m}$ , és a dir, la no existència de solucions.