Vés al contingut

Teorema de probabilitats totals

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
(S'ha redirigit des de: Teorema de la probabilitat total)

El Teorema de probabilitats totals [1] afirma el següent:

Considerem un espai de probabilitats i sigui una partició (finita o infinit numerable) de en esdeveniments que tenen probabilitat diferent de zero:

  1. Si ,

Sigui un esdeveniment qualsevol. Aleshores,

on és la probabilitat de condicionada per .

Demostració

[modifica]

Una versió per probabilitats condicionades

[modifica]

Considerem ara una partició finita o numerable d'un esdeveniment  : amb les mateixes condicions 2, 3 i 4 d'abans. Aleshores Prova: Raonant com a la demostració anterior,

Però com que Llavors,

d'on surt la fórmula (1).


Observació. Si totes les probabilitats són iguals, posem , llavors també En efecte, aplicant la fórmula (1),

La versió del teorema per probabilitats condicionades permet reduir el càlcul de al de les probabilitats que a vegades és més fàcil, ja que l'esdeveniment , sent més petit que l'esdeveniment , ofereix informació més precisa, i facilita la predicció (pronòstic = càlcul de probabilitat condicional). Això passa sovint quan s'estudien dues cadenes de Markov, on una és la imatge de l'altra. La demostració de la propietat de Markov per als processos de Galton-Watson n'és un exemple.

Referències

[modifica]