Test de la segona derivada

El criteri de la segona derivada o test de la segona derivada és un teorema o mètode del càlcul matemàtic en el qual s'utilitza la segona derivada per efectuar una prova simple corresponent als màxims i mínims relatius.

Es basa en el fet que si la gràfica d'una funció $f$ és convexa en un interval obert que conté a $c$ , i $f'(c)=0,f(c)$ ha de ser un mínim relatiu de $f$ . De manera similar, si la gràfica d'una funció és còncava cap avall en un interval obert que conté a $c$ i $f'(c)=0,f(c)$ ha ser un màxim relatiu de $f$ .

Teorema

Sigui $f$ una funció tal que $f'(c)=0$ ( $c$ és un punt crític) i la segona derivada de $f$ existeix en un interval obert que conté a $c$ .^[1]

Si $f''(c)>0$ , llavors $f$ té un mínim relatiu en $(c,f(c))$ .
Si $f''(c)<0$ , llavors $f$ té un màxim relatiu en $(c,f(c))$ .
Si $f''(c)=0$ , llavors $f$ potser tingui en $c$ un màxim relatiu, un mínim relatiu o cap dels dos.

En el cas que $f''(c)=0$ , es pot aplicar el test de la primera derivada per determinar si es tracta d'un extrem.

Exemples

Els punts crítics de la funció $f(x)=3x^{3}-8x^{2}+7x-2$ són $x=1$ i $x=7/9$ . La funció és dues vegades derivable en entorns d'aquests punts i la seva segona derivada és $f''(x)=18x-16$ . Com que $f''(1)=2>0$ i $f''(7/9)=-2<0$ , pel test de la segona derivada, $f$ té un mínim local en $x=1$ i un màxim local en $x=7/9$ .^[2]

La funció $f(x)=x^{3}$ és dues vegades derivable en un entorn del punt crític $x=0$ però, $f''(x)=0$ . No es pot establir si es tracta o no d'un extrem relatiu aplicant el test de la segona derivada.