Equacions per a un cos en caiguda lliure

Un conjunt d'equacions descriuen les trajectòries resultants quan els objectes es mouen a causa d'una força gravitatòria constant en condicions normals lligades a la Terra. Per exemple, la llei de Newton de la gravitació universal simplifica F = mg, on m és la massa del cos. Aquesta suposició és raonable per als objectes que cauen a la terra a través de les distàncies verticals relativament curtes de la nostra experiència quotidiana, però no és falsa a distàncies més grans, com les trajectòries de les naus espacials.

Història[modifica]

Galileu va ser el primer a demostrar, i conseqüentment a formular, aquestes equacions. Va utilitzar un pla inclinat per a estudiar unes boles que rodaven en ell. La rampa disminuïa l'acceleració prou per a mesurar el temps que trigava una bola a arribar a una distància determinada.^[1]^[2] Per a mesurar el temps transcorregut, es va servir d'un rellotge d'aigua, usant una "balança extremadament precisa" per a mesurar la quantitat d'aigua.

Les equacions desconeixen la resistència de l'aire, el que té un efecte considerable sobre objectes que permeten una distància considerablement gran, que permeten assolir ràpidament una velocitat límit. Per exemple, una persona que salta d'un avió en posició horitzontal, assoliria una velocitat aproximada de 250 km / h a causa de la resistència de l'aire; però si augmenta l'altura de sortida, la densitat de l'aire disminueix i també la seva resistència. Felix Baumgartner va saltar des dels 38.969,3 metres i va construir el rècord de caiguda lliure assolint 1357,64 km/h. L'efecte de la resistència de l'aire que depèn enormement de la mida i la geometria de l'objecte en caiguda, de la densitat de l'aire i de la velocitat. Per exemple, les equacions no són vàlides per a una ploma, que té una massa baixa, però una gran resistència a l'aire (en absència d'una atmosfera, tots els objectius poden caure a la mateixa velocitat, com l'astronauta David Scott va demostrar en deixar caure un martell i una ploma a la superfície de la Lluna).

Les equacions també ignoren la rotació de la Terra; per aquesta raó, l'efecte Coriolis no és tingut en compte. No obstant això, normalment són prou exactes per a objectes compactes i densos que cauen d'altures que no excedeixen les estructures més altes fetes per l'home.

Visió general[modifica]

A prop de la superfície de la Terra, l'acceleració deguda a la gravetat té aproximadament el valor g = 9.81 m / s² (metres per segon quadrat). Per a altres planetes g ha de multiplicar-se pel respectiu factor d'escala. És important utilitzar les unitats correctes per a l'acceleració deguda a la gravetat g, la distància d, el temps t i la velocitat v. Considerant el SI, g es mesurarà en metres per segon quadrat i desmesurada en metres, t en segons i v en metres per segon.

En tots els casos següents, s'assumeix que el cos inicia el seu moviment des d'un estat de repòs (això vol dir que la seva velocitat inicial és zero), hi ha més, es menysprea la resistència de l'aire. Generalment, en l'atmosfera de la Terra, això és vàlid per caigudes que no durin més de 5 segons (temps en què la velocitat de l'objecte serà una mica menor que el valor d'una caiguda equivalent en el buit, de 49 m / s, causa de la resistència de l'aire). A diferència del buit perfecte, la resistència de l'aire produeix una força d'arrossegament sobre qualsevol cos que cau travessant una atmosfera, i aquesta força d'arrossegament s'incrementa amb la velocitat fins que iguala la força gravitacional, causant que el cos caigui a una velocitat límit constant.

L'arrossegament atmosfèric, el coeficient d'arrossegament de l'objecte, la velocitat instantània de l'objecte, i l'àrea exposada al flux d'aire determinen la velocitat límit.

A excepció de l'última fórmula, aquestes fórmules també assumeixen que g no varia significativament amb l'altura durant la caiguda (per la qual cosa, s'assumeix una acceleració constant). Per a situacions on la distància de centre de la planeta varia significativament durant la caiguda, de manera que es produeixen canvis significatius en el valor de g, hauria d'usar l'última equació per obtenir una major exactitud. Aquesta situació ocorre en moltes aplicacions de física bàsica.

Equacions[modifica]


Distància $\ d\$ recorreguda per un objecte en caiguda lliure amb temps $\ t\$ :	$\ d={\frac {1}{2}}gt^{2}$
Temps $\ t\$ transcorregut per a un objecte que cau una distància $\ d\$ :	$\ t=\ {\sqrt {\frac {2d}{g}}}$
Velocitat instantània $\ v_{i}\$ d'un cos en caiguda lliure després d'un lapse de temps $\ t\$ :	$\ v_{i}=gt$
Velocitat instantània $\ v_{i}\$ d'un cos en caiguda lliure que ha recorregut una distància $\ d\$ :	$\ v_{i}={\sqrt {2gd}}\$
Velocitat mitjana $\ v_{a}\$ d'un cos que ha caigut durant un temps: $\ t\$	$\ v_{a}={\frac {1}{2}}gt$
Velocitat mitjana $\ v_{a}\$ d'un cos en caiguda lliure que ha recorregut una distància $\ d\$	$\ v_{a}={\frac {\sqrt {2gd}}{2}}\$
Velocitat instantània $\ v_{i}\$ d'un cos en caiguda lliure que ha recorregut una distància a un planeta amb massa $\ M\$ , amb el radi combinat del planeta i l'altitud del cos en caiguda lliure $\ r\$ . Aquesta equació es fa servir per a radis més grans on $\ g\$ és més petit del qual val normalment $\ g\$ en la superfície de la Terra, assumint una petita distància de caiguda, de manera que el canvio en $\ g\$ és petit i relativament constant:	$\ v_{i}={\sqrt {\frac {2GMd}{r^{2}}}}\$
Velocitat instantània $\ v_{i}\$ d'un objecte que cau que ha recorregut la distància $\ d\$ a un planeta amb massa $\ M\$ amb radis $\ r\$ s'utilitza per a grans distàncies de caiguda on $\ g\$ pot canviar significativament:	$\ v_{i}={\sqrt {2GM{\Big (}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r+d}}{\Big )}}}\$

Exemples[modifica]

La primera equació mostra que, després d'un segon, un cos haurà caigut una distància d'1/2 × 9.8 × 1a = 4.9 metres. Després de dos segons haurà caigut 1/2 × 9.8 × 2a = 19.6 metres, i així successivament.

Per cossos astronòmics diferents de la Terra, i per a petites distàncies de caiguda en altres cossos astronòmics, en les equacions ja esmentades s'ha de reemplaçar g per G (M + m) / r², on G és la constant de gravitació universal, M és la massa del cos astronòmic, m és la massa del cos en caiguda lliure, i r és la distància entre el cos i el centre de masses comú.

Efecte de l'atracció gravitatòria terrestre: animació d'una esfera en caiguda lliure des de la Torre de Pisa

Prescindir de la simplificació de considerar l'acceleració gravitacional uniforme, proporciona resultats molt més exactes, com es pot veure en la fórmula de les trajectòries el·líptiques radials.

Referències[modifica]

↑ Jespersen, James; Fitz-Randolph, Jane «From sundials to atomic clocks :». [Gaithersburg, MD], 1999.
↑ MacDougal, Douglas W. Galileo’s Great Discovery: How Things Fall. Nova York, NY: Springer New York, 2012, p. 17–36. DOI 10.1007/978-1-4614-5444-1_2.. ISBN 978-1-4614-5443-4.

[1] Jespersen, James; Fitz-Randolph, Jane «From sundials to atomic clocks :». [Gaithersburg, MD], 1999.

[2] MacDougal, Douglas W. Galileo’s Great Discovery: How Things Fall. Nova York, NY: Springer New York, 2012, p. 17–36. DOI 10.1007/978-1-4614-5444-1_2.. ISBN 978-1-4614-5443-4.

[1]

[2]