Forma de Chern–Simons
En matemàtiques, les formes diferencials de Chern–Simons són un tipus de classes característiques secundàries. Tenen aplicacions importants en teories de gauge en física moderna (especialment la 3-forma sobre una 3-varietat, que està relacionada amb el funcional de Yang-Mills per a 4-varietats) i defineixen l'acció de la teoria de Chern–Simons. La forma rep el nom dels matemàtics Shiing-Shen Chern i James Harris Simons, coautors d'un article del 1974 intitulat "Formes Característiques i Invariants Geomètriques",[1] a partir del qual la teoria va sorgir.
Definició[modifica]
Donada una varietat i una 1-forma de l'àlgebra de Lie, per sobre de la primera, podem definir una família de formes diferencials com segueix.[2]
En una dimensió, l'1-forma de Chern–Simons ve donada per
![{\displaystyle \operatorname {Tr} [\mathbf {A} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092c8e445b62d5b43e5f856352a1b4d4d00d6550)
En tres dimensions, la 3-forma de Chern–Simons ve donada per
![{\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]=\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cea87fcbf697dafba00a19e0d9eeddbc49940cf)
En cinc dimensions, la 5-forma de Chern–Simons és
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\\[6pt]={}&\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{2}}d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{5}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8710899b798ec98637895e5c5a11df81674e471)
on la curvatura F és definida com a
La forma de Chern–Simons general és definida de manera que
on el producte exterior és emprat per a definir Fk. La part dreta d'aquesta equació és proporcional al caràcter de Chern d'ordre k de la connexió .
En general, la p-forma de Chern–Simons és definida per a qualsevol valor de p senar. La seva integral sobre una varietat p-dimensional és una invariant geomètrica global, i és típicament un invariant de gauge modulo l'addició d'un enter.
Referències[modifica]
- ↑ Chern, Shiing-Shen; Simons, James «Characteristic Forms and Geometric Invariants». Annals of Mathematics, 99, 1, 1974, pàg. 48–69. DOI: 10.2307/1971013. ISSN: 0003-486X.
- ↑ Bertlmann, Reinhold A. Anomalies in Quantum Field Theory (en anglès). Clarendon Press, 2000-11-02. ISBN 978-0-19-850762-8.