Funció de Källén

La funció de Källén, també coneguda com a funció triangle, és una funció polinòmica de tres variables, que apareix en geometria i en física de partícules (on a voltes es denotada pel símbol $\lambda$). Rep el seu nom del físic teòric Gunnar Källén que la va introduir al seu llibre de text Elementary Particle Physics.

Definició i aplicacions

La funció ve donada per un polinomi quadràtic de tres variables

$\lambda (x,y,z)\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2yz-2zx.$

En geometria, la funció descriu l'àrea $A$ d'un triangle amb costats de longituds: $a,b,c$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-\lambda (a^{2},b^{2},c^{2})}}.$

Vegeu també la fórmula d'Heró.
La funció apareix naturalment en expressions de cinemàtica de partícules relativistes, p. ex. per a expressar, al sistema del centre de masses, l'energia i les components de la quantitat de moviment utilitzant les variables de Mandelstam. En aquests casos, el factor λ^1/2(s,m₁²​,m₂²​) apareix sovint en integracions de l'espai de fase d'un sistema de 2 partícules de masses m₁, m₂, i massa invariant total √s.

Propietats

La funció és (evidentment) simètrica en cas de permutacions dels seus arguments, i també és independent d'un canvi global del signe dels seus paràmetres:

$\lambda (-x,-y,-z)=\lambda (x,y,z).$

Si $y,z>0$, el polinomi factoritza en dos termes

$\lambda (x,y,z)=(x-({\sqrt {y}}+{\sqrt {z}})^{2})(x-({\sqrt {y}}-{\sqrt {z}})^{2}).$

Si $x,y,z>0$, el polinomi factoritza en quatre termes

$\lambda (x,y,z)=-({\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}})(-{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}})({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}})({\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}-{\sqrt {z}}).$

La seva expressió més condensada és

$\lambda (x,y,z)=(x-y-z)^{2}-4yz.$