Funció pròpia
En matemàtiques, una funció pròpia d'un operador lineal D definit en algun espai de funcions és qualsevol funció diferent de zero. en aquell espai que, quan actua sobre D, només es multiplica per algun factor d'escala anomenat valor propi. Com a equació, aquesta condició es pot escriure com [1]
Una funció pròpia és un tipus de vector propi.[2]
Funcions pròpies[modifica]
En general, un vector propi d'un operador lineal D definit en algun espai vectorial és un vector diferent de zero en el domini de D que, quan D actua sobre ell, és simplement escalat per algun valor escalar anomenat valor propi. En el cas especial on D es defineix en un espai de funcions, els vectors propis s'anomenen funcions pròpies. És a dir, una funció f és una funció pròpia de D si compleix l'equació [3]
|
( ) |
on λ és un escalar. Les solucions de l'equació (1) també poden estar subjectes a condicions de contorn. A causa de les condicions de contorn, els valors possibles de λ generalment estan limitats, per exemple a un conjunt discret λ 1, λ ₂, ... o a un conjunt continu en algun rang. El conjunt de tots els possibles valors propis de D de vegades s'anomena espectre, que pot ser discret, continu o una combinació d'ambdós.
Cada valor de λ correspon a una o més funcions pròpies. Si diverses funcions pròpies linealment independents tenen el mateix valor propi, es diu que el valor propi és degenerat i el nombre màxim de funcions pròpies linealment independents associades amb el mateix valor propi és el grau de degeneració o multiplicitat geomètrica del valor propi.[4]
Exemple amb l'operador derivada[modifica]
Una classe àmpliament utilitzada d'operadors lineals que actuen sobre espais dimensionals infinits són operadors diferencials sobre l'espai C ∞ de funcions reals o complexes infinitament diferenciables d'un argument real o complex t . Per exemple, considereu l'operador derivat amb l'equació de valors propis
Aplicacions[modifica]
Cordes vibrants[modifica]
Sigui h(x, t) el desplaçament transversal d'una corda elàstica tensada, com ara les cordes vibrants d'un instrument de corda, en funció de la posició x al llarg de la corda i del temps t . Aplicant les lleis de la mecànica a porcions infinitesimals de la cadena, la funció h satisfà l' equació diferencial parcial:
Senyals i sistemes[modifica]
En l'estudi de senyals i sistemes, una funció pròpia d'un sistema és un senyal f(t) que, quan s'introdueix al sistema, produeix una resposta y(t) = λf(t), on λ és un valor propi escalar complex.
Referències[modifica]
- ↑ «3.4: Operators, Eigenfunctions, Eigenvalues, and Eigenstates» (en anglès). https://chem.libretexts.org,+03-10-2013.+[Consulta: 18 agost 2023].
- ↑ «Home» (en anglès), 02-10-2013. [Consulta: 18 agost 2023].
- ↑ «Eigenfunction» (en anglès), 17-05-2019. [Consulta: 18 agost 2023].
- ↑ Weisstein, Eric W. «Eigenfunction» (en anglès). [Consulta: 18 agost 2023].