Algorisme de Gauss-Newton

A matemàtiques, l'algorisme de Gauss-Newton s'utilitza per a resoldre problemes no lineals de mínims quadrats. És una modificació del mètode d'optimització de Newton que no depèn de calcular segones derivades i es deu a Carl Friedrich Gauss.

El problema

Donades m funcions f ₁ ,..., f _m de n paràmetres p ₁ ,..., p _n amb m ≥ n , volem minimitzar la suma

$S(p)=\sum _{i=1}^{m}(f_{i}(p))^{2}.$

on, p fa al vector ( p ₁ ,..., p _n ).

L'algorisme

L'algorisme de Gauss-Newton és un procediment iteratiu. Això significa que hem de proporcionar una estimació inicial del paràmetre vector que anomenarem p ⁰ .

Estimacions posteriors p ^k per al vector paràmetre són produïdes per la relació recurrent:

$P^{k+1}=p^{k}-{\Big (}J_{f}(p^{k})^{\top }J_{f}(p^{k}){\Big )}^{-1}J_{f}(p^{k})^{\top }f(p^{k}),$

on f = ( f ₁ ,..., f _m ) i J _f ( p ) denota el Jacobià de f a p (noti's que no cal que J _f sigui quadrada).

La matriu inversa, en la pràctica, mai es computa explícitament. en lloc d'ells s'utilitza

$P^{k+1}=p^{k}+\delta ^{k},\,$

i es computa l'actualització de δ ^k resolent el sistema lineal

$J_{f}(p^{k})^{\top }J_{f}(p^{k})\,\delta ^{k}=-J_{f}(p^{k})^{\top }f(p^{k}).$

una bona implementació de l'algorisme de Gauss-Newton utilitza també un algorisme de cerca lineal: en lloc de la fórmula anterior per p ^{k +1} , s'utilitza

$P^{k+1}=p^{k}+\alpha ^{k}\,\delta ^{k},$

on el nombre α ^k és d'alguna manera òptim.

Altres algorismes

La relació de recurrència del Mètode de Newton per minimitzar la funció S és

$P^{k+1}=p^{k}-[H(S)(p^{k})]^{-1}J_{S}(p^{k}),\,$

on $J_{S}$ i $H(S)$ denoten el Jacobià i Hessiana de S respectivament. utilitzant el mètode de Newton per a la funció

$S(p)=\sum _{i=1}^{m}(f_{i}(p))^{2}$

obtenim la relació recurrent

$P^{k+1}=p^{k}-\left(J_{f}(p)^{\top }J_{f}(p)+\sum _{i=1}^{m}f_{i}(p)\,H(f_{i})(p)\right)^{-1}J_{f}(p)^{\top }f(p).$

Podem concloure que el mètode de Gauss-Newton és el mateix que el metodode Newton ignorant el terme Σ f H ( f ).

Altres algorismes utilitzats per a resoldre el problema dels mínims quadrats inclouen l'algorisme de Levenberg-Marquardt algorithm i de descens de gradient.