Amplificació i simplificació de fraccions

En matemàtica , amplificar una fracció és l'acció de multiplicar tant el numerador com el denominador d'aquesta, per un mateix nombre, amb l'objectiu d'obtenir una fracció equivalent a la fracció inicial. La simplificació o reducció de fraccions a l'acció de dividir numerador i denominador d'una fracció per un mateix nombre amb l'objectiu d'obtenir una fracció equivalent .

Amplificació de fraccions

El procediment és vàlid per a tot nombre real diferent de zero, ja que, fent ús de la propietat que té l'element Neutre multiplicador del conjunt de nombres reals (Anell amb unitat) , es pot prendre una fracció que sigui equivalent a 1 (element neutre) de tal manera que el seu numerador i denominador siguin nombres reals iguals no nuls. Això s'escriu així.

Siguin $a_{1},a_{2},...,a_{n}\,\!$ nombres reals qualsevol diferents de zero, llavors s'ha de:

${\frac {a_{1}}{a_{1}}}={\frac {a_{2}}{a_{2}}}=...={\frac {a_{n}}{a_{n}}}=1\,\!$

No és vàlida per al real zero perquè la divisió per zero no està definida

Aplicació de fraccions

• Aquest procediment matemàtic és utilitzat amb freqüència en moltes demostracions matemàtiques, ja que qualsevol expressió que sigui multiplicada per 1 no altera el seu valor. Així doncs, pot crear-se una fracció equivalent a un que ens sigui útil a la nostra demostració. veure exemple 1 .

(Una funció semblant compleix l'element neutre additiu del nombres reals, ja que en sumar zero tampoc s'altera l'expressió).

• Un altre exemple molt conegut és el d'utilitzar aquesta propietat en la racionalització de fraccions, on es fa servir la propietat de l'element neutre multiplicatiu per treure l'arrel inexacta d'un nombre real del denominador. veure exemple 2.

• També s'usa per comparar fraccions. Aquí també és vàlida la simplificació, que en el fons és el mateix, ja que fa ús de les mateixes propietats i procediments. veure exemple 3 .

Exemples d'amplificació de fraccions

Exemple 1

• Demostreu que:

$\tan {(x-y)}={\frac {\tan {(x)}-\tan {(y)}}{1+\tan {(x)}\tan {(y)}}}$.

Demostració:

$\tan {(x-y)}={\frac {\sin {(x-y)}}{\cos {(x-y)}}}$

$\tan {(x-y)}={\frac {\sin {(x)}\cos {(y)}-\sin {(y)}\cos {(x)}}{\cos {(x)}\cos {(y)}+\sin {(x)}\sin {(i)}}}$

Multiplicant per 1 la part dreta de la identitat, hem de:

$\tan {(x-y)}={\frac {\sin {(x)}\cos {(y)}-\sin {(y)}\cos {(x)}}{\cos {(x)}\cos {(y)}+\sin {(x)}\sin {(y)}}}{\frac {\frac {1}{\cos {(x)}\cos {(y)}}}{\frac {1}{\cos {(x)}\cos {(i)}}}}$

Després,

$\tan {(x-y)}={\frac {\tan {(x)}-\tan {(y)}}{1+\tan {(x)}\tan {(y)}}}$.

Que és el que volíem demostrar.

Noteu que aquest procediment és vàlid només si el producte de les tangents de xiy són diferents de menys un.

Exemple 2

• Racionalitzar l'expressió següent:

$Z={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

Multiplicant per un tenim:

$Z={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}$

Després,

$Z={\frac {\sqrt {2}}{2}}$

O també en el cas següent:

• Racionalitzar l'expressió:

$Z={\frac {1}{5-{\sqrt {2}}}}$

Multiplicant pel conjugat de z dividit en si mateix tenim.

$Z={\frac {1}{5-{\sqrt {2}}}}{\frac {\bar {z}}{\bar {z}}}$

$Z={\frac {1}{5-{\sqrt {2}}}}{\frac {5+{\sqrt {2}}}{5+{\sqrt {2}}}}$

$Z={\frac {5+{\sqrt {2}}}{25-2}}$

$Z={\frac {5+{\sqrt {2}}}{23}}$.

Exemple 3

L'amplificació pot usar-se, entre altres coses, per saber quina és la més gran de dues fraccions amb diferent denominador (amplificant la fracció de menor denominador fins a trobar una fracció de la mateixa denominador a l'altra i comparant després els numeradors).

Si es vol saber quina fracció és major:

${\frac {1}{3}};{\frac {2}{5}}$

Amplificar la primera per cinc cinquens i la segunta per tres terços:

És a dir,

${\frac {1\cdot 5}{3\cdot 5}}={\frac {5}{15}}$

${\frac {2\cdot 3}{5\cdot 3}}={\frac {6}{15}}$

La idea és que totes dues tinguin el mateix denominador, així, es comparen els numeradors i es decideix quin és més gran.

podent d'aquesta manera comparar les fraccions:

${\frac {5}{15}}<{\frac {6}{15}}$

i establir finalment la relació:

${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}$

Exemple 4

També es fa servir aquest procediment per sumar fraccions (sumes i restes)

${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{3}}$

${\frac {1\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}$

${\frac {3}{12}}+{\frac {8}{12}}={\frac {11}{12}}$

Simplificació de fraccions

En matemàtiques es coneix com a simplificació o reducció de fraccions a l'acció de dividir numerador i denominador d'una fracció per un mateix nombre amb l'objectiu d'obtenir una fracció equivalent .

Exemple:

La fracció 2/4 pot simplificar dividint 2:2 = 1 i 4:2 = 2, de manera que s'obté la fracció 1/2 (2/4 = 1/2). Aquella fracció que no pot ser simplificada rep el nom de fracció irreduïble . Una fracció és irreduïble quan, tant numerador com a denominador són relativament primers, és sigui que no tenen cap divisor comú. Es pot dividir pel qual es pugui per obtenir la fracció corresponent.