Anell de conjunts

En matemàtiques, hi ha dures nocions diferents per a un anell de conjunts. Ambdós fan referència a un cert tipus de famílies de conjunts.

En teoria de l'ordre, s'anomena anell (de conjunts) a una família de conjunts no buida ${\mathcal {R}}$ si és tancada sota la unió i la intersecció.^[1] És a dir, les següents dues afirmacions es compleixen per tots dos conjunts $A$ i $B$ ,

$A,B\in {\mathcal {R}}$ implica $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ i
$A,B\in {\mathcal {R}}$ implica $A\cap B\in {\mathcal {R}}.$

En teoria de la mesura, una família de conjunts no buida ${\mathcal {R}}$ rep el nom d'anell (de conjunts) si és tancada sota la unió i sota el complementari relatiu (la diferència en teoria de conjunts).^[2]^[3] És a dir, les següents dues afirmacions són certes per tots dos conjunts $A$ i $B$ dins de ${\mathcal {R}}$ ,

$A,B\in {\mathcal {R}}$ implica $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ i
$A,B\in {\mathcal {R}}$ implica $A\setminus B\in {\mathcal {R}}.$

Això implica que un anell en el sentit de la teoria de mesura sempre conté el conjunt buit. A més, per tots conjunts $A$ i $B$ ,

A\cap B=A\setminus (A\setminus B),

que demostra que una família de conjunts tancada sota el complementari relatiu és també tancada sota la intersecció, i que per tant tot anell segons la definició de teoria de la mesura ho és també segons la definició de la teoria de l'ordre.

Exemples

Sigui $X$ qualsevol conjunt, llavors el conjunt de les parts de $X$ (la família de tots els subconjunts de $X$ ) forma un anell de conjunts en tots dos sentits.

Si $(X, \leq)$ és un conjunt parcialment ordenat, llavors les seves seccions finals (els subconjunts de $X$ amb la propietat adicional que si $x$ pertany a una secció final U i $x \leq y$ , llavors $y$ també ha de pertànyer a $U$ ) són tancades tant sota interseccions com sota unions. Tanmateix, en general no serà tancat sota diferència de conjunts.

Els conjunts oberts i conjunts tancats de tot espai topològic són tancats tant sota la unió com sota la intersecció.^[1]

En la recta real $R$ , la família de conjunts que consisteix en el conjunt buit i totes les unions finites d'intervals semioberts de la forma (a, b], amb $a, b \in R$ és un anell en el sentit de la teoria de la mesura.

Si $T$ és tota transformació definida en un espai, llavors els conjunts que són la seva pròpia imatge respecte $T$ són tancats tant sota la unió com sota la intesecció.^[1]

Si dos anells de conjunts són definits tots dos sobre els mateixos elements, llavors els conjunts que pertanyen a tots dos anells de formen un anell de conjunts nou.^[1]

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Birkhoff, Garrett «Rings of sets». Duke Mathematical Journal, 3, 3, 1937, p. 443–454. DOI: 10.1215/S0012-7094-37-00334-X.
↑ De Barra, Gar. Measure Theory and Integration. Horwood Publishing, 2003, p. 13. ISBN 9781904275046.
↑ Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3. ed., [Nachdr.]. Nova York: McGraw-Hill, 2008. ISBN 978-0-07-054235-8.

Bibliografia

Durrett, Richard. Probability: theory and examples. Fifth edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2019. ISBN 978-1-108-47368-2.
Folland, Gerald B. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. 2a edició. John Wiley & Sons, 1999. ISBN 0-471-31716-0.

Vegeu també

σ-àlgebra

Enllaços externs

Anell de conjunts a l'Enciclopèdia de Matemàtiques (anglès)

[b37-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Birkhoff, Garrett «Rings of sets». Duke Mathematical Journal, 3, 3, 1937, p. 443–454. DOI: 10.1215/S0012-7094-37-00334-X.

[2] De Barra, Gar. Measure Theory and Integration. Horwood Publishing, 2003, p. 13. ISBN 9781904275046.

[3] Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3. ed., [Nachdr.]. Nova York: McGraw-Hill, 2008. ISBN 978-0-07-054235-8.

[1]

[2]

[3]