Aproximació eikonal

En física teòrica, l' aproximació eikonal (en grec εἰκών per a semblança, icona o imatge) és un mètode aproximat útil en equacions de dispersió d'ones, que es produeixen en òptica, sismologia, mecànica quàntica, electrodinàmica quàntica i expansió parcial de les ones.

Descripció informal

El principal avantatge que ofereix l'aproximació eikonal és que les equacions es redueixen a una equació diferencial en una sola variable. Aquesta reducció en una única variable és el resultat de l'aproximació de la recta o l'aproximació eikonal, que ens permet triar la recta com a direcció especial.

Relació amb l'aproximació WKB

Els primers passos implicats en l'aproximació eikonal en mecànica quàntica estan molt relacionats amb l'aproximació WKB per a ones unidimensionals. El mètode WKB, com l'aproximació eikonal, redueix les equacions a una equació diferencial en una sola variable. Però la dificultat de l'aproximació WKB és que aquesta variable es descriu per la trajectòria de la partícula que, en general, és complicada.

Descripció formal

Fent ús de l'aproximació WKB podem escriure la funció d'ona del sistema dispers en termes d'acció S:

$\Psi =e^{iS/{\hbar }}$

Inserint la funció d'ona Ψ a l'equació de Schrödinger sense la presència de camp magnètic obtenim

$-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}\Psi =(E-V)\Psi$

$-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}{e^{iS/{\hbar }}}=(E-V)e^{iS/{\hbar }}$

${\frac {1}{2m}}{(\nabla S)}^{2}-{\frac {i\hbar }{2m}}{\nabla }^{2}S=E-V$

Escrivim S com una sèrie de potències en ħ

$S=S_{0}+{\frac {\hbar }{i}}S_{1}+...$

Per a l'ordre zero:

${\frac {1}{2m}}{(\nabla S_{0})}^{2}=E-V$

Si considerem el cas unidimensional aleshores ${\nabla }^{2}\rightarrow {\partial _{z}}^{2}$.

Obtenim una equació diferencial amb la condició de contorn :

${\frac {S(z=z_{0})}{\hbar }}=kz_{0}$

per $V\rightarrow 0$, $z\rightarrow -\infty$.

${\frac {d}{dz}}{\frac {S_{0}}{\hbar }}={\sqrt {k^{2}-2mV/{\hbar }^{2}}}$

${\frac {S_{0}(z)}{\hbar }}=kz-{\frac {m}{{\hbar }^{2}k}}\int _{-\infty }^{z}{Vdz'}$