Astroide

Astroide

En matemàtica, un astroide és un tipus particular d'hipocicloide, una corba amb quatre vèrtexs. Els astroides són també corbes de Lamé: tots els astroides són versions a escala de la corba especificada per l'equació:

$x^{2/3}+y^{2/3}=1.\,$

El seu nom modern ve de la paraula grega asteros, "estrella". La corba tenia diversos noms, incloent-hi tetracúspide, cubocicloide, i paracicle. És gairebé idèntica en la forma a l'evoluta d'una el·lipse.

Construcció de l'astroide

El camí que segueix un punt d'una circumferència de radi 1/4 rodolant dins d'una circumferència del radi 1 traça una astroide. Un segment de recta de la llargada 1 que llisqui amb un extrem a l'eix d'abscisses i l'altre a l'eix d'ordenades, és sempre tangent a l'astroide (que és per això un envolupant). Les seves equacions paramètriques són:

$x=\cos ^{3}\theta ,\qquad y=\sin ^{3}\theta .$

L'astroide és el lloc geomètric real d'una corba algebraica plana del gènere zero. Té l'equació:

$(x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0.\,$

L'astroide és per això del grau sis, i té quatre singularitats de cúspide en el pla real, els vèrtexs de l'estrella. Té dues singularitats complexes de cúspide més a l'infinit, i quatre punts dobles complexos, en total té deu singularitats.

La corba dual de l'astroide és la corba cruciforme amb l'equació $\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.$

L'evoluta d'una astroide és una astroide dues vegades més gran.

Una astroide creada en rodolar una circumferència dins d'una circumferència del radi $a$ tindrà una àrea de ${\frac {3}{8}}\pi a^{2}$ i un perímetre de 6a.

Corbes relacionades

• Deltoide: corba amb tres cúspides.

Referències

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications, 1972, p. 4–5,34–35,173–174. ISBN 0-486-60288-5. 
• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Nova York: Penguin Books, 1991, p. 10–11. ISBN 0-14-011813-6. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Astroid» a MathWorld (en anglès).
• "Astroid" a The MacTutor History of Mathematics archive
• Article a 2dcurves.com
• Visual Dictionary Of Special Plane Curves, Xah Lee
• Bars of an Astroid per Sándor Kabai.