Atles (topologia)

Un atles és un conjunt de cartes (entorns de coordenades) que proveeixen d'estructura localment euclidiana a un espai topològic.

Cada carta cobreix un entorn de l'espai donant coordenades als punts dins d'aquest entorn. Un atles és un conjunt de cartes que, a més de cobrir l'espai del tot, en cas de superposició entre dues cartes, les coordenades proveïdes per una i altra estan relacionades simplement per una funció vectorial amb "bones propietats" (és un homeomorfisme fins i tot un difeomorfisme).

Els atles són l'eina que permet donar estructura diferenciable als espais topològics, i el substrat per a les nocions de la geometria diferencial de varietats.

Definició

Donat un espai topològic $X$ , una carta (o també entorn coordenat) és un parell $(U,\varphi )$ , on $U$ és un obert de $X$ , i $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ un homeomorfisme entre $U$ i l'espai euclidià $\mathbb {R} ^{n}$ . Aquest homeomorfisme proveeix de coordenades als punts de l'entorn $U$ .

Un atles és un conjunt de cartes que cobreix la varietat al complet, i de tal manera que siguin compatibles entre si: si dues cartes donen coordenades diferents per a una regió de $X$ , llavors la funció "canvi de coordenades "ha de ser bijectiva i contínua en els dos sentits. És a dir:

Un atles és una família de cartes $\{(U_{i},\varphi _{i})\}$ amb $\ \cup _{i}U_{i}=X$ i tal que sempre que $O_{ij}\equiv U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$ la funció de transició $\varphi _{ij}\equiv \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\varphi _{j}(O_{ij})\to \varphi _{i}(O_{ij})$ és un homeomorfisme entre oberts de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Diferenciabilitat

La definició anterior és estrictament per a un atles de classe ${\mathcal {C}}^{0}$ . Exigint que les funcions de transició $\phi _{ij}$ siguin difeomorfismes de classe ${\mathcal {C}}^{k}$ , obtindríem un atles de classe ${\mathcal {C}}^{k}$ (on $k$ és un enter positiu, $\infty$ , o fins i tot $\omega$ per atles analítics).

Compatibilitat. Estructura diferenciable.

La condició de compatibilitat entre cartes ens permet definir si dos atles de classe ${\mathcal {C}}^{k}$ són al seu torn compatibles : ho són si la seva unió conjuntista és un atles al seu torn, és a dir, si poden "ajuntar" en un sol atles.

Dues atles compatibles però diferents donen coordenades a l'espai X de maneres essencialment equivalents. Per definir l'estructura de varietat (ja sigui topològica o diferenciable) sense ambigüitats, es recorre a una classe d'equivalència d'atles compatibles entre si. Una altra manera és fer servir un atles maximal , que conté qualsevol atles compatible amb ell. A aquests atles maximals se'ls denomina també estructures diferenciables (de classe ${\mathcal {C}}^{k}$ ).

Vegeu també

Bibliografia

Wald, Robert. General Relativity (en anglès). The University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2.

Nota

Viccionari