Axioma de l'infinit

En teoria de conjunts, l'axioma de l'infinit és un axioma que garanteix l'existència d'un conjunt amb un nombre infinit d'elements.

Enunciat

L'axioma de l'infinit assegura l'existència d'un conjunt infinit en el sentit de Dedekind: un conjunt que pot posar-se en correspondència bijectiva amb un subconjunt propi de si mateix. L'enunciat més habitual es basa en la propietat equivalent del conjunt inductiu:

$\exists A:\varnothing \in A\wedge \forall x\in A,\,x\cup \{x\}\in A$

És a dir, es postula l'existència d'un conjunt inductiu, és a dir que conté el conjunt buit, i el successor x ∪ {x} de cada un dels seus elements x. D'aquesta manera s'assegura l'existència d'un conjunt que conté els nombres naturals en la construcció conjuntista habitual:

$\mathbb {N} =\bigcap \{Y:Y{\text{ és inductiu }}\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\ldots \}$

Independència

L'axioma de l'infinit (AI) no es pot demostrar a partir de la resta d'axiomes de la teoria de Zermelo-Fraenkel (ZF), si aquests són consistents. Es pot demostrar que tots ells són certs en restringir-se a un "univers" de conjunts finits escollits amb compte (els conjunts hereditàriament finits). És a dir, els axiomes de ZF —inclòs l'AI— demostren l'existència d'un model per a ZF−AI+¬AI —ZF substituint AI per la seva negació—. Per tant, una demostració de AI a partir de ZF−AI donaria lloc a una demostració de la consistència de ZF-AI, en contradicció amb el segon teorema d'incompletesa de Gödel. La situació és idèntica en la teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel.

Referències

• Ivorra, Carlos. Lógica y teoría de conjuntos, 18 d'octubre de 2010. 

• Kunen, Kenneth. «IV. Easy consistency proofs». A: Set Theory: an introduction to independence proofs (en anglès). Elsevier Science, 1980. ISBN 0-444-86839-9.