Calibre de Lorenz

En electromagnetisme, la condició de calibre de Lorenz o calibre de Lorenz (després de Ludvig Lorenz ) és una fixació de calibre parcial del potencial vectorial electromagnètic requerint $\partial _{\mu }A^{\mu }=0.$ El nom és sovint confós amb Hendrik Lorentz, que ha donat el seu nom a molts conceptes en aquest camp. La condició és invariant de Lorentz. La condició del calibre de Lorenz no determina completament el calibre: encara es pot fer una transformació del calibre $A^{\mu }\mapsto A^{\mu }+\partial ^{\mu }f,$ on $\partial ^{\mu }$ és el gradient de quatre i $f$ és qualsevol funció escalar harmònica: és a dir, una funció escalar que obeeix $\partial _{\mu }\partial ^{\mu }f=0,$ l'equació d'un camp escalar sense massa.

La condició de calibre de Lorenz s'utilitza per eliminar el component d'espín-0 redundant a les equacions de Maxwell quan aquestes s'utilitzen per descriure un camp quàntic d'espín-1 sense massa. També s'utilitza per a camps massius de spin-1 on el concepte de transformacions de gauge no s'aplica en absolut.

Descripció

En electromagnetisme, la condició de Lorenz s'utilitza generalment en els càlculs de camps electromagnètics dependents del temps mitjançant potencials retardats. La condició és $$\partial _{\mu }A^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0,$$ on $A^{\mu }$ és el quatre potencial, la coma denota una diferenciació parcial i l'índex repetit indica que s'està utilitzant la convenció de suma d'Einstein. La condició té l'avantatge de ser invariant de Lorentz. Encara deixa graus de llibertat substancials.

En notació vectorial ordinària i unitats SI, la condició és $$\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,$$ on $\mathbf {A}$ és el potencial vector magnètic i $\varphi$ és el potencial elèctric; vegeu també fixació de calibre.

En unitats gaussianes la condició és $$\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.$$Es pot trobar una justificació ràpida del calibre de Lorenz utilitzant les equacions de Maxwell i la relació entre el potencial del vector magnètic i el camp magnètic: $$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}$$Per tant, $$\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.$$Com que el rínxol és zero, això significa que hi ha una funció escalar $\varphi$ tal que $$-\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.$$Això dóna una equació ben coneguda per al camp elèctric: $$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.$$Aquest resultat es pot connectar a l'equació d'Ampère-Maxwell, $${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\\\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}$$Això se'n va $$\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .$$Per tenir invariància de Lorentz, les derivades temporals i les derivades espacials s'han de tractar igual (és a dir, del mateix ordre). Per tant, és convenient triar la condició de mesura de Lorenz, que fa que el costat esquerre sigui zero i dóna el resultat $$\Box \mathbf {A} =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} .$$Es donarà un procediment similar centrat en el potencial escalar elèctric i fent la mateixa elecció de calibre $$\Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho .$$Aquestes són formes més simples i simètriques de les equacions de Maxwell no homogènies.

Aquí $$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$$ és la velocitat al buit de la llum, i $\Box$ és l'operador d'Alembert amb la signatura mètrica (+ − − −). Aquestes equacions no només són vàlides en condicions de buit, sinó també en medis polaritzats, si $\rho$ i ${\vec {J}}$ són la densitat de font i la densitat de circulació, respectivament, dels camps d'inducció electromagnètica ${\vec {E}}$ i ${\vec {B}}$ calculat com és habitual a partir de $\varphi$ i ${\vec {A}}$ per les equacions $${\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}$$Les solucions explícites per $\varphi$ i $\mathbf {A}$ - únic, si totes les quantitats s'esvaeixen prou ràpid a l'infinit - es coneixen com a potencials retardats.