Camp solenoidal

Un exemple de camp solenoidal: el camp ${\vec {F}}(x,y)=(y,-x)$.

En càlcul vectorial, un camp solenoidal és aquell pel qual tota integral sobre una superfície tancada és zero. És a dir, un camp vectorial ${\vec {F}}$ és solenoidal si, i només si,

$\iint \limits _{S}{{\vec {F}}d{\vec {S}}}=0\qquad \forall {S}{\text{ tancada}}$

Evidentment, una altra caracterització equivalent pels camps solenoidals és que un camp ${\vec {F}}$ és solenoidal si, i només si, per qualssevol superfícies $S$ i $T$ amb la mateixa vora es compleix

$\iint \limits _{S}{{\vec {F}}d{\vec {S}}}=\iint \limits _{T}{{\vec {F}}d{\vec {S}}}$

Si el domini del camp és un conjunt estrellat, aleshores un camp vectorial ${\vec {F}}$ és solenoidal si, i només si, la divergència del camp és zero:

$\left\langle {\vec {\nabla }},{\vec {F}}\right\rangle =0$

Aquesta condició se satisfà, independentment del domini del camp, si ${\vec {F}}$ és derivable d'un potencial vectorial ${\vec {G}}$. És a dir, si per algun camp vectorial ${\vec {G}}$ es té:

${\vec {F}}={\vec {\nabla }}\land {\vec {G}}$

Ja que llavors es compleix automàticament que:

$\left\langle {\vec {\nabla }},{\vec {F}}\right\rangle =\left\langle {\vec {\nabla }},({\vec {\nabla }}\land {\vec {G}})\right\rangle =0$

L'afirmació contrarecíproca també és certa gràcies a un teorema de Poincaré, si ${\vec {F}}$ és solenoidal en algun punt llavors localment el camp és expressable com el rotacional d'un camp vector.

Exemples de la física

• Una de les equacions de Maxwell implica que el camp magnètic B és solenoidal.
• El camp de velocitats d'un flux incompressible és solenoidal.
• Donada una barra o prisma mecànic sotmès a torsió el camp de tensions tangencials d'una secció transversal associades a la torsió és solenoidal, amb corbes integrals tancades.

Referències

• Aris, Rutherford. Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics. Dover, 1989. ISBN 0-486-66110-5.