Combinació afí

En matemàtiques, donat un espai afí $(\mathbb {A} ,V,\varphi )$ sobre un cos $\mathbb {K}$ , i un nombre finit de punts $p_{1},...,p_{n}\in \mathbb {A}$ , una combinació afí de $p_{1},...,p_{n}$ és un punt expressat amb una combinació lineal

$\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot p_{i}}=\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\cdots +\alpha _{n}p_{n},$

amb $\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in \mathbb {K}$ tals que

$\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1.$

En general, les operacions producte per escalar i suma no estan definides al conjunt $\mathbb {A}$ , de forma que, fixat un punt auxiliar ${\bar {p}}\in \mathbb {A} ,$ l'expressió anterior es defineix com

$\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot p_{i}}={\bar {p}}+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\vec {({\bar {p}}p_{i}}}})\in \mathbb {A}$ .

En aquesta expressió, les operacions suma i producte per escalar sí que estan definides, ja que s'apliquen a ${\vec {{\bar {p}}p_{i}}},$ elements d'un espai vectorial $V$ .

L'expressió anterior està ben definida perquè és independient del punt auxiliar ${\bar {p}}\in \mathbb {A}$ escollit. És a dir, fixat un altre punt auxiliar $p'\in \mathbb {A}$ arbitrari, la combinació afí obtinguda per l'anterior definició és la mateixa:

\forall {{\bar {p}},p'}\in \mathbb {A} \quad {\bar {p}}+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p_{i}}})}=p'+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {p'p_{i}}}}),\quad si\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1\,

Volem veure que

${\bar {p}}+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\vec {({\bar {p}}p_{i}}}})=p'+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\vec {(p'p_{i}}}})\Leftrightarrow {\vec {{\bar {p}}p'}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p_{i}}}-{\vec {p'p_{i}}})}.\,$

Vegem que és cert:

$\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p_{i}}}-{\vec {p'p_{i}}})}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p_{i}}}+{\vec {p_{i}p'}})}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p'}})}=({\vec {{\bar {p}}p'}})\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}={\vec {{\bar {p}}p'}}\cdot 1={\vec {{\bar {p}}p'}}.\,$

Per tant, la definició de combinació afí de punts no depèn del punt auxiliar escollit per a calcular-la. $\square$

El concepte de combinació afí és fonamental en geometria euclidiana i geometria afí, perquè el conjunt de totes les combinacions afins d'un conjunt de punts formen la varietat lineal més petita que els conté. És a dir, si considerem el conjunt de punts $S:=\left\{{p_{1},...,p_{m}}\right\}\subseteq \mathbb {A}$ i denotem com $\left\langle S\right\rangle$ el conjunt de combinacion afins de $S$ , aleshores

\left\langle S\right\rangle

és la varietat lineal més petita que conté a

S.

Veiem que, clarament,

S\subseteq \left\langle S\right\rangle

, ja que

p_{j}=p_{j}+\sum _{i=1,i\neq j}^{m}{0\cdot {\vec {p_{j}p_{i}}}}+1\cdot {\vec {p_{j}p_{j}}}=0\cdot p_{1}+...+1\cdot p_{j}+...+0\cdot p_{m}\in \left\langle S\right\rangle \quad \forall j=1,...,m

.

Per tant, només queda veure que $\left\langle S\right\rangle$ és una varietat lineal i que no només conté a $S$ , sinó que és la més petita que ho fa.

En primer lloc, veurem que si considerem una varietat lineal $U$ tal que $S\subseteq U$ , necessàriament $\left\langle S\right\rangle \subseteq U$ .

A partir d'això obtenim que qualsevol varietat lineal que contingui a $S$ és més gran o igual que $\left\langle S\right\rangle$ , i només restarà comprovar que $\left\langle S\right\rangle$ és efectivament una varietat lineal per a poder afirmar l'enunciat.

Sigui, doncs, $U$ una varietat lineal tal que $S\subseteq U$ . En particular, $p_{1}\in U\Rightarrow U=p_{1}+F$ , amb $F\subseteq V$ cert subespai vectorial.

Prenem $q\in \left\langle S\right\rangle$ arbitrari. Si veiem que necessàriament $q\in U$ tindrem la inclusió que cercàvem.

Per tant, utilitzant la definició anterior i prenent $p_{1}$ com a punt auxiliar, $q=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}p_{i}=p_{1}+\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}{\vec {p_{1}p_{i}}}.$

D'altra banda, com que $S\subseteq U=p_{1}+F,\quad p_{i}=p_{1}+u_{i}$ , amb $u_{i}\in F\quad \forall i=1,...,m\Rightarrow {\vec {p_{1}p_{i}}}=u_{i}\in F$ .

Com que $F$ és un subespai vectorial, aleshores $v:=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}{\vec {p_{1}p_{i}}}\in F\Rightarrow q=p_{1}+v,$ amb $v\in F\Rightarrow q\in p_{1}+F=U.$

Com que això és cert per a un $q\in \left\langle S\right\rangle$ arbitrari, aleshores és cert per a tot $q$ i tenim $\left\langle S\right\rangle \subseteq U$ , com volíem demostrar.

Només queda veure, doncs, que $\left\langle S\right\rangle$ és, en efecte, una varietat lineal.

Ho veiem provant que $\left\langle S\right\rangle =p_{1}+[{\vec {p_{1}p_{2}}},{\vec {p_{1}p_{3}}},...,{\vec {p_{1}p_{m}}}]=:W$ , on $[A]$ denota el subespai generat pel conjunt de vectors $A.$

$W$ és clarament una varietat lineal perquè està construïda com un punt més un espai vectorial.

$(\subseteq )$ Observem que $p_{1}\in W$ , i, si $i=2,...,m,$ aleshores $p_{i}=p_{1}+{\vec {p_{1}p_{i}}}\in W$ , perquè ${\vec {p_{1}p_{i}}}\in [{\vec {p_{1}p_{2}}},...,{\vec {p_{1}p_{m}}}]$ .