Comparació de topologies

En topologia, el conjunt de totes les topologies sobre un conjunt donat és un conjunt parcialment ordenat. Aquesta relació d'ordre pot utilitzar-se per comparar topologies.

Definició

Sigui $X$ un conjunt, una topologia ${\mathcal {T}}$ sobre aquest conjunt és una família de subconjunts anomenats oberts que compleixen determinades condicions.

Siguin ${\mathcal {T}}_{1}$ i ${\mathcal {T}}_{2}$ dues topologies sobre $X$ , aleshores la topologia ${\mathcal {T}}_{1}$ és més fina que ${\mathcal {T}}_{2}$ si ${\mathcal {T}}_{2}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}$ . També, es diu que ${\mathcal {T}}_{2}$ és més gruixuda o més feble que ${\mathcal {T}}_{1}$ . Si la relació d'inclusió és estricta, s'afegeix el terme estrictament. Si ${\mathcal {T}}_{2}={\mathcal {T}}_{1}$ , les topologies són equivalents.

La relació d'inclusió $\subseteq$ defineix una relació parcial d'ordre sobre el conjunt de possibles topologies sobre $X$ .

Exemples

La topologia més fina sobre un conjunt donat és la topologia discreta i la topologia més gruixuda és la trivial.
Sobre els reals, la topologia estàndard és més feble que la topologia de Sorgenfrey.^[1]^[2]
Sobre $\mathbb {R} ^{n}$ , les topologies induïdes per la distància euclidiana, distància del màxim i distància de Manhattan són equivalents.^[1]
Sobre $\mathbb {R}$ , la topologia cofinita és més feble que la estàndard.^[3]

Propietats

Siguin ${\mathcal {T}}_{1}$ i ${\mathcal {T}}_{2}$ dues topologies sobre $X$ . Les següents condicions són equivalents:

${\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}$
La funció identitat $id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{2})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{1})$ és contínua.
La funció identitat $id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{1})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{2})$ és oberta.