Condició de Hörmander

En matemàtiques, la condició de Hörmander és una propietat de camps vectorials que, si es satisfà, té moltes conseqüències útils en la teoria de equacions diferencials parcials i estocàstiques. La condició du el nom del matemàtic suec Lars Hörmander.

Definició

Donats dos camps vectorials C¹ V i W en l'espai euclidià d-dimensional R^d, sigui [V, W] el seu corxet de Lie, es defineix un altre camp vectorial com

$[V,W](x)=\mathrm {D} V(x)W(x)-\mathrm {D} W(x)V(x),$

on DV(x) denota la derivada de Fréchet de V en x ∈ R^d, que es pot entendre com una matriu que és aplicada al vector W(x), i vice versa.

Siguin A₀, A₁, ... A_n camps vectorials en R^d, es diu que satisfan la condició de Hörmander si, en cada punt x ∈ R^d, els vectors

${\begin{aligned}&A_{j_{0}}(x)~,\\&[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)]~,\\&[[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)],A_{j_{2}}(x)]~,\\&\quad \vdots \quad \end{aligned}}\qquad 0\leq j_{0},j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n$

generen R^d. Es diu que satisfan la condició parabòlica de Hörmander si la mateixa condició aplica, però amb l'índex $j_{0}$ prenent només els valors 1,...,n.

Aplicació a equacions diferencials estocàstiques

Consideri's l'equació diferencial estocàstica (EDE)

$\operatorname {d} x=A_{0}(x)\operatorname {d} t+\sum _{i=1}^{n}A_{i}(x)\circ \operatorname {d} W_{i}$

on s'assumeix que els camps vectorials $A_{0},\dotsc ,A_{n}$ tenen derivada fitada, $(W_{1},\dotsc ,W_{n})$ és una moció browniana n-dimensional i $\circ \operatorname {d}$ denota la interpretació de la integral de Stratonòvitx de l'EDE. El teorema de Hörmander afirma que si l'EDE definida amunt satisfà la condició parabòlica de Hörmander, llavors les seves solucions admeten una densitat suau respecte de la mesura de Lebesgue.

Aplicació al problema de Cauchy

Seguint la mateixa notació de més amunt, defineixi's l'operador diferencial F com

$F={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}A_{i}^{2}+A_{0}.$

Un problema important en la teoria d'equacions diferencials en derivades parcials és el de determinar condicions suficients en els camps vectorials A_i per a què el problema de Cauchy

${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Fu(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{d};\\u(t,\cdot )\to f,&{\text{as }}t\to 0;\end{cases}}$

tingui una solució fonamental suau, és a dir una funció real p (0, +∞) × R^2d → R tal que p(t, ·, ·) és suau en R^2d per tot t i

$u(t,x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}p(t,x,y)f(y)\,\mathrm {d} y$

satisfagui el problema de Cauchy de més amunt. S'ha sabut d'un temps ençà que existeix una solució suau en el cas d'operadors el·líptics, en què

$A_{i}=\sum _{j=1}^{d}a_{ji}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}},$

i la matriu A = (a_ji), 1 ≤ j ≤ d, 1 ≤ i ≤ n és tal que AA^∗ és una matriu invertible pertot.

La gran gesta d'un article de Hörmander de 1967 va ser demostrar que existeix una solució fonamental suau si es fa una suposició més feble: la versió paràbolica de la condició que avui en dia du el seu nom, que s'ha definit més amunt.

Aplicació a sistemes de control

Sigui M una varietat diferenciable i $A_{0},\dotsc ,A_{n}$ camps vectorials suaus en M. Si s'assumeix que aquests espais vectorials satisfan la condició de Hörmander, llavors el sistema de control

${\dot {x}}=\sum _{i=0}^{n}u_{i}A_{i}(x)$

és localment controlable en tot temps i en qualsevol punt de M. Això es coneix com el teorema de Rashevsky–Chow. Vegi's Òrbita (teoria de control).

Vegeu també

• Àlgebra de Lie

Referències

• Bell, Denis R. The Malliavin calculus. Mineola, NY: Dover Publications Inc., 2006, p. x+113. ISBN 0-486-44994-7.  MR 2250060 (See the introduction)
• Hörmander, Lars «Hypoelliptic second order differential equations». Acta Math., vol. 119, 1967, pàg. 147–171. DOI: 10.1007/BF02392081. ISSN: 0001-5962. MR 0222474