Condició de frontera de Neumann

En matemàtiques, la condició de frontera o condició de contorn de Neumann (o de segon tipus) és un tipus de condició de frontera o contorn, anomenat així en al·lusió a Carl Neumann, quan en una equació diferencial ordinària o en derivades parcials, se li s'especifiquen els valors de la derivada d'una solució presa sobre la frontera o contorn del domini.

En el cas d'una equació diferencial ordinària, per exemple, pot ser:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1$

sobre l'interval [0,1] les condicions de frontera de Neumann prenen la forma:

${\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}(0)=\alpha _{1}\\{\frac {dy}{dx}}(1)=\alpha _{2}\end{cases}}$

on $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$ són nombres donats.

Per a una equació diferencial en derivades parcials sobre un domini $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ tal com:

$\nabla ^{2}y=0$

on $\nabla ^{2}$ és el laplacià, la condició de frontera de Neumann pren la forma:

${\frac {\partial y}{\partial n}}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .$

Aquí, n és la normal a la frontera $\partial \Omega$ i $f$ és una funció escalar.

La derivada normal utilitzant la regla de la mà esquerra es defineix com:

${\frac {\partial y}{\partial n}}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf {n} (x)$

on $\nabla$ és el gradient (vector) i el punt és el producte intern amb el vector normal unitari n .

Vegeu també

• Condició de frontera de Dirichlet
• Condició de frontera mixta
• Condició de frontera de Cauchy
• Condició de frontera de Robin