Conjectura de Dittert

En combinatòria, la conjectura de Dittert, o conjectura de Dittert-Hajek, és una hipòtesi matemàtica relativa al màxim assolit per una determinada funció $\phi$ de matrius amb entrades reals i no negatives que compleixin una condició sumatòria. La conjectura es deu a Eric Dittert i (independentment) a Bruce Hajek.

Sigui $A=[a_{ij}]$ una matriu quadrada d'ordre $n$ amb entrades no negatives i amb $\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\right)=n$. Definim permanent com $\operatorname {per} (A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}$, on la suma s'estén sobre tots els $\sigma$ elements del grup simètric.

La conjectura de Dittert afirma que la funció $\operatorname {\phi } (A)$ definida per $\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\right)+\prod _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)-\operatorname {per} (A)$ es maximitza (de manera única) quan $A=(1/n)J_{n}$, on $J_{n}$ es defineix com la matriu quadrada d'ordre $n$ amb totes les entrades iguals 1.