Conjectura de Pólya

En matemàtiques, la conjectura de Pólya és una hipòtesi que planteja que la majoria dels nombres naturals (més del 50%) menors que qualsevol nombre donat, tenen una quantitat senar de factors primers. La conjectura va ser proposada pel matemàtic hongarès George Pólya el 1919, i es va demostrar la seva falsedat el 1958. La mida del menor contraexemple és usualment usada per mostrar com una conjectura pot ser certa per molts nombres, i tot i així ser falsa.

Enunciat

La conjectura de Pólya enuncia que:

per a qualsevol n (> 1), si dividim els nombres naturals menors o iguals a n (excloent el 0) per aquells que tenen un nombre imparell de factors primers, i si anàlogament els dividim per aquells que tenen un nombre parell de factors primers, llavors el primer conjunt té més elements que l'últim, o bé tenen igual quantitat d'elements.

Es pot enunciar la conjectura, de manera equivalent, en termes de la funció de Liouville:

$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0$

Per a tot n. Aquí, $\lambda (k)=(-1)^{\Omega (k)}$ és positiu si el nombre de factors primers del sencer k és parell, i negatiu si és imparell. La funció Omega compta el total de factors primers d'un enter.

Refutació

La conjectura va ser demostrada falsa per Brian Haselgrove el 1958. Va demostrar que la conjectura té un contraexemple, el que va estimar al voltant de 1.845 × 10³⁶¹.

Un contraexemple explícit, amb n = 906.180.359 va ser donat per R. S. Lehman el 1960, el contraexemple més petit és n = 906.150.257, trobat per Minoru Tanaka el 1980.

La conjectura de Pólya falla per a la majoria dels valors de $n$ a la regió de 906.150.257 ≤ n ≤ 906.488.079. en aquesta regió, la funció assoleix un valor màxim de 829 en n = 906.316.571.

Bibliografia

• G. Pólya, «Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie». Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
• Haselgrove, C.B.. A disproof of a conjecture of Pólya. 5, 1958, p. 141-145. 
• R.S. Lehman, On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
• M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tòquio Journal of Mathematics 3 , (1980) 187-189.