Connexitat per arcs
En topologia, es diu que un espai (o un subespai) és connex per arcs o arc-connex (o també connex per camins) si compleix una propietat que, intuïtivament, pot entendre's com la possibilitat de formar un camí entre dos punts qualssevol de l'espai o subespai. Cadascun dels subespais arc-connexs no continguts en un subespai arc-connex major s'anomena component arc-connexa de l'espai.
Definició formal
[modifica]Direm que un conjunt és connex per camins o arc-connex si donats hi ha un camí continu tal que i .
![{\displaystyle \alpha :[0,1]\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dc9bd6ad7f750d891c24f83b973dc5025abc7)
Propietats
[modifica]
La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg, , on i . és connex, però no connex per camins.
![{\displaystyle A=\{0\}\times ]-1,1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79af94f7001b4a7aefc1403f7370037789c6b69d)
![{\displaystyle B=([0,1]\times \{0\})\cup (\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}\times [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ba5ff10e0509187003daf3e056eb7c256df859)
Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).