Constant Omega

En matemàtiques, la constant Omega, anotada Ω, és una constant definida per:

$\Omega \,e^{\Omega }=1$

Aquí Ω és un cas particular de la funció W de Lambert. El nom de la constant prové del nom alternatiu de la funció W de Lambert, la funció omega. No l'hem de confondre amb la constant Omega de Chaitin, definida en la teoria algorítmica de la informació.

Definició

La constant prové de la funció W de Lambert, que rep aquest nom en honor del matemàtic alsacià Johann Heinrich Lambert. Té la forma següent:

z=we^{w}\;\Longleftrightarrow \;w=W(z).

$z$ és un nombre complex, expressat en notació polar de nombres complexos, i la funció ve definida per $W(z)=w$ , complint-se, doncs, la igualtat

$z=W(z)e^{W(z)}.$

La constant omega és el cas particular de la funció W de Lambert quan $\Omega =W_{0}(1)\,$ . L'expressió resultant és la coneguda: $\Omega \,e^{\Omega }=1$

Propietats

Valor aproximat

El valor aproximat d'Ω és:

$\Omega \approx 0,5671432904...$ ^[1]

Altres definicions

Les següents expressions també validen el valor d'Ω:^[2]

e^{-\Omega }=\Omega

\ln \Omega =-\Omega .\,

\Omega =\ln \left({\frac {1}{\Omega }}\right)

Es pot calcular el valor d'Ω seguint un mètode iteratiu partint d'un Ω₀ i obtenint cada element de la seqüència executant:

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.\,

La seqüència tendirà al valor d'Ω a mesura que n tendeixi a ∞. Això passa ja que Ω és un punt fix de la funció $e^{-x}$

S'obtindrà la constant de manera molt més eficient mitjançant la seqüència:^[3]

\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},

ja que la funció:

f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},

té el mateix punt fix però té també la derivada igual a 0 en aquest punt fent que la convergència sigui quadràtica (el nombre nous dígits correctes és aproximadament duplicat per cada iteració.

Una identitat curiosa, atribuïda a Victor Adamchik, és la donada per la relació:

\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1.

Integral que també es pot expressar de la següent manera:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{1+\Omega }}.$

Irracionalitat

La constant $\Omega$ és un nombre irracional. Mitjançant la reducció a l'absurd es parteix de la base que el nombre $e$ és un nombre transcendent (demostrat per Charles Hermite el 1873).

Suposant que $\Omega$ és un nombre racional, llavors existeixen $p$ i $q$ nombres naturals primers entre ells tals que:

\Omega ={\frac {p}{q}}

llavors: $1={\frac {pe^{\frac {p}{q}}}{q}}$

i finalment: $e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}$

fet que convertiria el nombre $e$ en un nombre algebraic d'ordre $p$ , contradient la premissa que $e$ és un nombre transcendent (no algebraic).

Transcendència

A més de ser un nombre irracional, la constant Omega és també un nombre transcendent, segons es pot demostrar mitjançant el teorema de Lindemann-Weierstrass. Aquest teorema, juntament amb el de Gelfond-Schneider, constitueix la conjectura de Schanuel, i serveix per determinar si un nombre és transcendent o no. En particular, diu el següent:

Suposem $\alpha$ , un nombre algebraic no nul, llavors { $\alpha$ } és un conjunt linealment independent sobre els racionals. { $e^{\alpha }$ } en serà un conjunt algebraicament independent, o en altres paraules, el nombre $e^{\alpha }$ serà transcendent.

Aplicat a la constant Omega, es suposa que $\Omega$ és un nombre algebraic i es parteix de la identitat:

$\Omega =e^{-\Omega }$

Llavors, si $\Omega$ és un nombre algebraic, $(-\Omega )$ també ho serà, i per tant, $e^{-\Omega }$ serà, per força, un nombre transcendent, contradient la identitat inicial. Per tant, $\Omega$ ha de ser per força un nombre transcendent, sent $e^{-\Omega }$ també un nombre transcendent.