De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
En matemàtiques , la constant de Gompertz o constant d'Euler-Gompertz , denotada per
G
{\displaystyle G}
constant matemàtica que apareix en avaluacions integrals i com a valor de funcions especials . Porta el nom del matemàtic anglès Benjamin Gompertz .
El valor numèric de
G
{\displaystyle G}
G
=
0.596347362323194074341078499369279376074
…
{\displaystyle G=0.596347362323194074341078499369279376074\dots \qquad }
A073003 a l'OEIS )A més, pot ser definida per la fracció contínua :
G
=
1
2
−
1
4
−
4
6
−
9
8
−
16
10
−
25
12
−
36
14
−
49
16
−
⋱
,
{\displaystyle G={\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {4}{6-{\cfrac {9}{8-{\cfrac {16}{10-{\cfrac {25}{12-{\cfrac {36}{14-{\cfrac {49}{16-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}},}
o, alternativament, per:
G
=
1
1
+
1
1
+
1
1
+
2
1
+
2
1
+
3
1
+
3
1
+
4
1
1
+
⋱
.
{\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {3}{1+4{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}
L'aparició més freqüent de
G
{\displaystyle G}
G
=
∫
0
∞
ln
(
1
+
x
)
e
−
x
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
1
+
x
d
x
=
∫
0
1
1
1
−
log
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }\ln(1+x)e^{-x}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}dx=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-\log(x)}}dx.}
Quan estudiava sèries infinites divergents, Euler es va trobar
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
funció de Gompertz .[ 1]
[ modifica ] La constant
G
{\displaystyle G}
exponencial integral com:
G
=
−
e
Ei
(
−
1
)
.
{\displaystyle G=-e{\textrm {Ei}}(-1).}
Aplicant l'expansió en sèrie de Taylor de
Ei
{\displaystyle {\textrm {Ei}}}
G
=
−
e
(
γ
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
⋅
n
!
)
.
{\displaystyle G=-e\left(\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\cdot n!}}\right).}
La constant de Gompertz està relacionada amb els coeficients de Gregory a través de la fórmula de I. Mező de 2013:[ 2]
G
=
∑
n
=
0
∞
ln
(
n
+
1
)
n
!
−
∑
n
=
0
∞
C
n
+
1
{
e
⋅
n
!
}
−
1
2
.
{\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\{e\cdot n!\}-{\frac {1}{2}}.}
↑
Steven R. , Finch. Mathematical Constants . Cambridge University Press, 2003, p. 425–426..
↑ Mező , István «Gompertz constant, Gregory coefficients and a series of the logarithm function». Journal of Analysis and Number Theory , 7, 2013, pàg. 1–4.
