Vés al contingut

Constant dels inversos de Fibonacci

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

La constant dels inversos de Fibonacci , o ψ, es defineix com la suma dels inversos dels nombres de Fibonacci:

La raó entre dos termes consecutius d'aquesta suma tendeix a l'invers del nombre auri. Com que aquest nombre és menor que 1, el criteri de d'Alembert estableix que la suma convergeix.

Se sap que ψ és aproximadament igual a

[1]

No es coneix una fórmula tancada que doni el valor de ψ, però Gosper descriu un algorisme per obtenir una aproximació ràpida del seu valor.[2] De fet ψ és irracional, i aquesta propietat va ser conjecturada per Paul Erdős, Ronald Graham i Leonard Carlitz, i comprovada el 1989 per Richard André-Jeannine.[3]

La representació d'aquesta constant en fracció contínua és:

[4]

Referències

[modifica]
  1. (successió [{{fullurl:OEIS:{{{id}}}}} {{{id}}}] a l'OEIS)
  2. La sèrie dels inversos dels nombres de Fibonacci proporciona una precisió de O ( k ) xifres per a la suma de k termes, mentre que la sèrie accelerada de Gosper proporciona O ( k 2 ) xifres.Gosper, William R. Acceleration of Sèries. Artificial Intelligence Memo # 304, Artificial Intelligence Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, 1974, p.66. 
  3. André-Jeannine, Richard «Irrationalité de la Somme des inverses de Certain suites recurrents». C. R. Acad. Sci Paris Ésser. I Math., 308, 19, 1989, p. 539-541.
  4. (successió [{{fullurl:OEIS:{{{id}}}}} {{{id}}}] a l'OEIS)