Continuació analítica

En matemàtiques, i més concretament en anàlisi complexa, una extensió analítica (o continuació analítica) és una tècnica per ampliar el domini d'una funció analítica donada.

Introducció

Considerem un punt $p$ del pla complex i la sèrie de potències en $z-p$:

$\alpha _{0}+\alpha _{1}(z-p)+\alpha _{2}(z-p)^{2}+\alpha _{3}(z-p)^{3}+...$

Aquesta sèrie de potències convergeix en un cert cercle $C_{1}$ de centre $p$ i, doncs, hi defineix una funció holomorfa $f$; escrivem $f_{p}$ per a posar en evidència el punt de desenvolupament.

Considerem un punt $q\in C_{1}$ i desenvolupem $f$ en sèrie de potències de $z-q$:

$f_{q}(z)=\beta _{0}+\beta _{1}(z-q)+\beta _{2}(z-q)^{2}+\beta _{3}(z-q)^{3}+...$

Si és cas que el cercle de convergència $C_{2}$ d'aquesta darrera sèrie no sigui continugut en $C_{1}$, hom ha de fet obtingut una coneixença més ampla de $f$, mitjançant la definició: $f(z):=\left\{{\begin{matrix}f_{p}(z)&{\textrm {si}}\ z\in C_{1}\\f_{q}(z)&{\textrm {si}}\ z\in C_{2}\end{matrix}}\right.$

Aquesta definició és bé posada, perquè $z\in C_{1}\cap C_{2}\Rightarrow f_{p}(z)=f_{q}(z)$.

Direm que l'extenció de $f$ a $C_{1}\cup C_{2}$ així obtinguda és una continuació analítica (o també un prolongament analític) de $f_{p}:C_{1}\rightarrow \mathbb {C}$; direm també que $f_{q}:C_{2}\rightarrow \mathbb {C}$ és una continuació analítica de $f_{p}:C_{1}\rightarrow \mathbb {C}$ i viceversa.

Per exemple, es pot senzillament veure que les dues sèries de potències $\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{2^{n+1}}}\ (\vert z\vert <2)$ i $\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-i)^{n}}{(2-i)^{n+1}}}\ (\vert z-i\vert <{\sqrt {5}})$ són cadascuna una continuació analítica de l'altra. Notem que totes dues representen la funció $z\mapsto 1/(2-z)$. Més en general, si és cas que $f$, definida a priori dins un conjunt obert $U\subset \mathbb {C}$, es pugui restringir a un conjunt obert $V\subset U$ i successivament $f\vert _{V}$ pugui ésser prolongada a un conjunt obert $W\not \subset U$, direm que la nova funció obtenida es una continuació analítica de $f$.

Les definicions bàsiques

Un element de funció 1holomorfa és un parell $\left(U,f\right)$, on $U$ és un conjunt obert a connexió simple del pla complex, $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ una funció holomorfa definida en $U$, que pren valors en $\mathbb {C}$. Dos elements $\left(U,f\right)$ i $\left(V,g\right)$ són conectables si existeix una successió finita

$\left\{(U_{j},f_{j})\right\}_{j=0,....,n}$,

tal que $\left(U_{0},f_{0}\right)=\left(U,f\right)$, $\left(U_{n},f_{n}\right)=\left(V,g\right)$ i, per a tot $j=0,....,n-1$,

$\left\{{\begin{matrix}&U_{j}\cap U_{j+1}\not =\emptyset ,\\&f_{j+1}\vert _{U_{j}\cap U_{j+1}}=f_{j}\vert _{U_{j}\cap U_{j+1}}.\end{matrix}}\right.$

Direm que $\ \{(U_{i},f_{i})\}_{i=0...n}\$ és una continuació analítica de $(U,f)$ (o de $(V,g)$). Direm també, si no hi ha possibilitat de confusió, que cada element és una continuació analítica de $(U,f)$ (o de $(V,g)$). Els elements $\left\{(U_{j},f_{j})\right\}_{j=0,....,n}$ es diran enllaçats.

Una continuació analítica al llarg d'un camí $\gamma :[0,1]\rightarrow \mathbb {C}$ (per a senzillesa suposem que $\gamma$ sigui $C^{1}$ a trets) és una continuació analítica $\{(U_{i},f_{i})\}_{i=0...n}$ tal que $\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}\supset \gamma ([0,1])$.

Cal sens dubte recordar que la continuació analítica al llarg d'un camí tancat no conserva pas, en general, els valors de la funció en un entorn del punt de partida: es tingui en compte, per exemple, la determinació $\varphi$ de la funció 'arrel quadrada complexa', en un entorn de $1$, tal que $\varphi (1)=1$.

Es pot veure $\varphi$, en coordenades polars, com a l'aplicació que envia $\varrho \exp(i\vartheta )$ cap a ${\sqrt {\varrho }}\exp(i\vartheta /2)$, on ${\sqrt {\ }}$ indica l'operació d'arrel quadrada real positiva. Intu\"\i tivament, continuem $\varphi$ al llarg de la circumferència unitat: després una volta compleda, és a dir un increment de $\vartheta$ igual a $2\pi$, obtenim un nou element de funció holomorfa $\psi$ en un entorn de $1$, que ha redu\"\i t a meitat l'increment de $2\pi$ l'argument de $z$.

Doncs, $\arg(\psi (z))=\arg(\varphi (z))+\pi$, és a dir $\varphi =-\psi$. Naturalment, una altra volta de $2\pi$ ens porta de bell nou a l'element de partida $\varphi$.

Es pot veure que el conjunt de les continuacions analítiques d'un mateix element forma de manera natural una superfície de Riemann, anomenada superfície de Riemann de l'element o també continuació analítica maximal, que existeix gràcies al Lema de Zorn.

Formació de fronteres naturals

Considerem un element de funció holomorfa $(U,f)$: pot succeir que, per a cada restricció $(V,g)$ de $(U,f)$ (és a dir, $V\subset U$ i $g=f\vert _{V}$) no existeixi cap continuació analítica $(W,h)$ de $(V,g)$ tal que $W\cap U\not \subset U$. Si és cas, direm que $\partial U$ és una frontera natural per a l'element $(U,f)$. Considerem per exemple la série de potències

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}=1+z^{2}+z^{4}+z^{8}+...$:

gràcies al teorema de Cauchy-Hadamard ella convergeix dins el disc $\vert z\vert <1$, i, doncs, hi defineix una funció holomorfa $h$. De més, $h(z)\to \infty$ llavors que $z\to 1$ al llarg de l'eix real. Puix que $h(z^{2})=1+z^{4}+z^{8}+z^{16}+...=h(z)-z^{2}$ hom ha $\lim _{z\to {-1},z\in \mathbb {R} }h(z)=$ $\lim _{z\to {-1},z\in \mathbb {R} }\left(z^{2}+h(z^{2})\right)=\infty$.

De la mateixa manera, $h(z)=z^{2}+z^{4}+h(z^{4})$, ja que $h\to \infty$ llavors que $z\to \pm i$ al llarg de l'[[eix imaginari]]; de manera general, $h(z)=z^{2}+...+z^{2^{n}}+h(z^{2^{n}})$, per a tot nombre natural $n$, ja que $h\to \infty$ llavors que $z\to \exp({2k\pi /2^{n}})$ al llarg d'un radi del disc.

El conjunt dels punts de la forma $\exp({2k\pi /2^{n}}),\ k,n\in \mathbb {Z}$ és dens dins el cercle $\mathbb {T} =\{\vert z\vert =1\}$, ja que $h$ no admet cap continuació analítica a algun punt d'aquesta corba: ella és, doncs, una frontera natural.

Observem que $h$ pot tampoc ser continuada als punts de $\mathbb {T}$ com a funció meromorfa, perquè, en aquest cas, $1/h$ s'anul$\cdot$laria en un conjunt amb un punt d'acumulació i seria, doncs, idènticament zero.