Convergència (successió matemàtica)

En anàlisi matemàtica, el concepte de convergència es refereix a la propietat que tenen algunes successions númèriques a tendir a un límit. Aquest concepte és molt general i depenent de la naturalesa del conjunt en què es troba definida la successió, pot adoptar diferents formes.

Definició

Una successió d'elements $\,\{x_{n}\}$ d'un espai mètric $(M,d)\,$ convergeix a un element $x\in M$ si per a qualsevol nombre real $\varepsilon >0$, existeix un enter positiu $N\,$ (que depèn de $\,\varepsilon$) que $n\geq N\Rightarrow d(x_{n},x)<\varepsilon .$

S'acostuma a escriure com

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$

o també

$x_{n}\ {\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ x\quad {\mbox{quan}}\quad n\to \infty$

o simplement

$x_{n}\to x.$

Intuïtivament, això vol dir que els elements $x_{n}\,$ de la successió poden ser tan propers a $x\,$ com vulguem si $n\,$ és prou gran, ja que $\,d(x_{n},x)$ determina la distància entre $\,x_{n}$ i $\,x$. A partir de la definició, es pot demostrar que si una successió convergeix, ho fa cap a un únic límit.

Aquesta definició s'aplica en els casos concrets dels espais vectorials normats i dels espais amb producte intern. En el cas d'un espai normat $(E,\Vert \cdot \Vert )$, la norma $\Vert \cdot \Vert$ indueix la mètrica $d(x,y):=\Vert y-x\Vert$ per cada $x,y\in E$; en el cas dels espais amb producte intern $(E,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$, el producte intern $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ indueix la norma $\Vert x\Vert ={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ per cada $x\in E$.

Exemples

• Successions a $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$

Els conjunts dels nombres reals $\mathbb {R}$ i dels nombres complexos $\mathbb {C}$ es construeixen en un espai mètric per mitjà del valor absolut: per a cada parella d'elements $x,y\in \mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, la funció $d(x,y):=\vert y-x\vert$ determina una mètrica.

Per tant, una successió $\,\{x_{n}\}$ en $M=\mathbb {R}$ convergeix a un $x\in \mathbb {R}$ si per qualsevol $\varepsilon >0$, existeix un enter $\,N$ tal que

$n\geq N\Rightarrow \vert x_{n}-x\vert <\varepsilon .$

Alguns exemples poden ser:

• La successió constant definida per $\,x_{n}:=c$ per a tots els valors de $\,N$, on $c\in \mathbb {R}$. Aquesta successió convergeix a $\,c$ ja que:

$\vert x_{n}-c\vert =\vert c-c\vert =0<\varepsilon$

• La successió $\,x_{n}:=1/n$. Aquesta successió convergeix a zero, ja que per la propietat arquimediana dels nombres reals, per cada $\varepsilon >0$, existeix un nombre natural $\,N$ tal que $N\varepsilon >1$, i per tant, si $n>\,N,1/n<1/N$ i llavors:

$\vert x_{n}-0\vert =\vert 0\vert =1/n<1/N<\varepsilon .$

• La successió de l'exemple anterior és un cas particular d'un resultat més general. Si $\,p>0,$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$

• Si $\vert a\vert <1$, llavors $a^{n}\to 0.$

• La successió $\,z_{n}:=e^{i\pi n}$. En aquest cas no convergeix, sinó que els valors oscil·len en $\,-1,1,-1,1,\ldots$

• Donat que $\mathbb {c}$ (en particular $\mathbb {R}$) està dotat de l'operació suma (cosa que no passa en tots els espais mètrics), a cada successió $\{a_{n}\}\,$ a $\mathbb {c}$ (en particular $\mathbb {R}$) és possible associar-li la successió de sumes parcials

$s_{n}:=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

La successió $\{s_{n}\}\,$ s'expressa com

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

i se l'anomena sèrie infinita. En el cas que la successió de sumes parcials convergeixi, $s_{n}\to s$, es diu que és una sèrie convergent i s'escriu

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=s.$

En cas contrari, pot ser una sèrie divergent o bé una sèrie oscil·latòria. Exemples clàssics de sèries convergents, divergents i oscil·latòries són

$\sum _{n=1}^{\infty }a^{n}={\frac {a}{1-a}},(\vert a\vert <1),\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty ,\quad \sum _{n=1}^{k}(-1)^{n}={\begin{cases}-1,&{\mbox{si }}k{\mbox{ imparell}}\\\quad 0,&{\mbox{si }}k{\mbox{ parell}}\end{cases}}$