Corba de Lévy

En matemàtiques, una corba de Lévy, a vegades anomenada corba C de Lévy per la seva forma, és una corba fractal descrita l'any 1906 per Ernesto Cesàro.^[1] El 1910 el matemàtic Georg Faber en va descriure les propietats de diferenciabilitat,^[2] i posteriorment Paul Lévy en va analitzar les propietats d'auto-similitud i va proporcionar una construcció geomètrica de la corba, mostrant-la com una corba representativa de la mateixa classe que la corba de Koch.^[3] Es tracta d'un cas especial de corba de doble període, és a dir, una corba de Rham.^[4]

En alguns casos també se l'anomena drac de Lévy i es considera dins de la família de corbes del drac.^[5]

Construcció

La corba de Lévy és el límit del següent sistema de funcions iterades en el pla complex:^[3]

f_{1}(z)={\frac {(1-i)z}{2}}

f_{2}(z)=1+{\frac {(1+i)(z-1)}{2}}

amb el sistema de punts inicial $S_{0}=\{0,1\}$ .

La corba de Lévy es pot considerar una corba de Peano, en la qual cada segment és substituït per dos segments que formen un angle de 90°, de la següent manera:

Per tant, el perímetre tendeix a infinit, perquè augmenta de forma constant a cada iteració.

Alternativament, si s'interpreta com una variant del drac de Heighway, es pot obtenir una seqüència corresponent als girs de la corba de la següent manera, mantenint la simetria:

Es comença amb un únic gir a l'esquerra, que es pot representar amb un $1$
El pas següent té la forma (anterior)valor(anterior), és a dir: $(1)a(1)\rightarrow (1a1)b(1a1)\;...$
El valor que es col·loca a la posició central segueix un cicle a-b-c-d on:

a - seguir recte, per tant un angle de gir de 0°.

b - girar a la dreta, per tant un angle de gir de 90°.

c - tornar enrere, per tant un angle de gir de 180°.

d - girar a l'esquerra, per tant un angle de gir de 270°.

Propietats

La dimensió fractal de la corba és 2, però l'any 1999 Duvall i Keesling en van estimar la dimensió de Hausdorff del límit del seu perímetre:^[6]

d_{H}\approx 2\log _{2}(x)=1.9340...

on

x

s'obté de l'equació polinòmica

x^{9}-3x^{8}+3x^{7}-3x^{6}+2x^{5}+4x^{4}-8x^{3}+8x^{2}-16x+8=0

.

Els decimals coneguts de

d_{H}

es troben a l'OEIS A191689

Vegeu també

Referències

↑ Césaro, E. «Fonctions continues sans dérivée». Archiv der Math. und Phys., 10, 1906, pàg. 57-63.
↑ Faber, G. «Über stetige Funktionen II». Math Annalen, 69, 1910, pàg. 372-443.
↑ ^3,0 ^3,1 Lévy, Paul. Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole. Classics on Fractals. Addison-Wesley Publishing, 1938. ISBN 0-201-58701-7.
↑ Kawamura, K. «On the classification of self-similar sets determined by two contractions on the plane». J. Math. Kyoto Univ., 42, 2, 2002, pàg. 260.
↑ Bailey, Scott; Kim, Theodore; Strichartz, Robert S. «Inside the Lévy dragon». The American Mathematical Monthly, 109, 8, 2002, pàg. 689–703. DOI: 10.2307/3072395. JSTOR: 3072395. MR: 1927621
↑ Duvall, P.; Keesling, J. «The Hausdorff dimension of the boundary of the Lévy Dragon». Dynamical Systems. DOI: 10.1090/conm/246/03776. arXiv: 9907145

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Corba de Lévy

Larry Riddle, Agnes Scott College. «Lévy Dragon» [Consulta: 22 de març 2021]

[1] Césaro, E. «Fonctions continues sans dérivée». Archiv der Math. und Phys., 10, 1906, pàg. 57-63.

[2] Faber, G. «Über stetige Funktionen II». Math Annalen, 69, 1910, pàg. 372-443.

[levy-3] 3,0 ^3,1 Lévy, Paul. Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole. Classics on Fractals. Addison-Wesley Publishing, 1938. ISBN 0-201-58701-7.

[4] Kawamura, K. «On the classification of self-similar sets determined by two contractions on the plane». J. Math. Kyoto Univ., 42, 2, 2002, pàg. 260.

[5] Bailey, Scott; Kim, Theodore; Strichartz, Robert S. «Inside the Lévy dragon». The American Mathematical Monthly, 109, 8, 2002, pàg. 689–703. DOI: 10.2307/3072395. JSTOR: 3072395. MR: 1927621

[6] Duvall, P.; Keesling, J. «The Hausdorff dimension of the boundary of the Lévy Dragon». Dynamical Systems. DOI: 10.1090/conm/246/03776. arXiv: 9907145

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]