Demostració que e és irracional

En matemàtica, el desenvolupament en sèrie del nombre e

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

pot ser utilitzat per a provar que e és un nombre irracional.

Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b. Considerem el nombre

$x:=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=b\,!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).$

Mostrem que la suposició per a l'absurd implica simultàniament que $0<x<1$ i que $x$ és un nombre enter. Això és impossible, i aquesta contradicció estableix la irracionalitat de "e".

• Per a veure que x és un nombre enter, notem que

$x\,$

$=b\,!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-b\,!\cdot \sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}$

Ara, per a tot n tal que $0\leq n\leq b$, hom veu que $b\,!$ és divisible per a $n\,!$, ja que

$b\,!\cdot \sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}$ és un nombre enter positiu. Com a conseqüència, puix que $a\cdot (b-1)!\in {\mathbb {N} }$ també, $x\in {\mathbb {Z} }$, és a dir, x és un nombre enter.

• Per a veure que x és un nombre positiu inferior a 1, notem que $x=b\,!\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\quad$ car

$x={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots$

$<{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}\leq 1$

Aquí, la darrera suma és una sèrie geomètrica. Puix que no existeixen nombres enters positius més petits que 1, hem obtingut una contradicció. Això acaba la demostració.

Quod erat demonstrandum