Desigualtat de Bessel

En matemàtiques, especialment en anàlisi funcional, la desigualtat de Bessel és una proposició sobre els coeficients d'un element $x$ en un espai de Hilbert respecte a una successió ortonormal.

Sigui $H$ un espai de Hilbert, i suposi's que $e_{1},e_{2},...$ és una seqüència ortonormal en $H$. Llavors, per a tot $x$ de $H$ es compleix que

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}$

on <·, ·> denota el producte interior en l'espai de Hilbert $H$. Si es defineix la suma infinita

$X'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},$

la desigualtat de Bessel ens diu que aquesta sèrie matemàtica convergeix.

Per a una successió ortonormal completa (és a dir, per una successió ortonormal que alhora és una base ortonormal de $H$), hom té la identitat de Parseval, que reemplaça la desigualtat per una igualtat (i conseqüentment $x'$ amb $x$).

En àlgebra lineal la desigualtat de Bessel estipula que donat un espai vectorial V amb producte interior definit, donada $\beta =\{\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n}\}$ un subconjunt ortonormal de V, es compleix que per a tot x de V:

$\lVert x\lVert ^{2}\geq \sum _{i=1}^{n}\|\langle x,\beta _{i}\rangle \|^{2}$.